tag:blogger.com,1999:blog-34198513719485778692024-03-07T12:55:13.448+01:00Matemáticas «IES Fuengirola nº 1»Pretendemos que esta bitácora sirva para mostrar algunos aspectos sobre Matemáticas, Ciencias y Tecnología que tratamos en clase.Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.comBlogger38125tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-66247788744518669502024-03-02T12:38:00.005+01:002024-03-07T12:54:41.941+01:00Investigación: ¿existe una función cuadrática que sea producto de dos funciones polinómicas de grado 1 que sean tangentes a su gráfica?<p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"> El problema a investigar se podía enunciar así:</span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i><b>"¿Existen dos funciones polinómicas de grado 1, f y g, de forma que sus gráficas sean rectas tangentes a la gráfica de h(x)=f(x).g(x)?"</b></i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>Sean f(x)=ax+b y g(x)=cx+d; a,c≠0 </i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>f,g y h son derivables y f´(x)=a; g´(x)=c y h´(x)=a.g(x)+f(x).c</i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>Si las gráficas de f y g son tangentes a la gráfica de h en los puntos x=α y x=β respectivamente, entonces:</i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>h´(α)=f´(α)=a y h(</i></span><i style="font-family: arial;">α)=f(</i><i style="font-family: arial;">α) </i><i style="font-family: arial;">[1] </i></p><p style="text-align: justify;"><i style="font-family: arial;">h´(β)=g´(β)=c y h</i><i style="font-family: arial;">(β)=g</i><i style="font-family: arial;">(β)</i><i style="font-family: arial;"> [2]</i></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>De [1] a.g(α)+f(α).c=a y f(α).g(α)=f(α) </i></span></p><p style="text-align: justify;"><i style="font-family: arial;">Si f(α)≠0, como f(α).g(α)=f(α), entonces </i><i style="font-family: arial;">g(α)=1⇒ a+f(α).c=a ⇒ f(α).c=0 ⇒ f(α)=0 (ya que </i><i style="font-family: arial;">c≠0). Esto supone una </i><i style="font-family: arial;">contradicción, luego f(α)=0 [3]⇒ a.g(α)=a ⇒ </i><i style="font-family: arial;"> </i><i style="font-family: arial;">g(α)=1 [4] (ya que </i><i style="font-family: arial;">a≠0)</i></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>En [2] se usa el mismo razonamiento y se deduce que g(β)=0 [5] y f(β)=1 [6]</i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>De [3] α es raíz del polinomio f y α=-b/a</i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>De [4] g(α)=g(-b/a)=c∙(-b/a)+d=1 ⇒ -cb+ad=a [7] </i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>De [5] β es raíz del polinomio g y β=-d/c</i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>De [6] f(β)=f(-d/c)=a∙(-d/c)+b=1 ⇒ -ad+cb=c [8] </i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>[7]+[8]⇒ a+c=0⇒ c=-a ⇒ ab+ad=a (por [7]) ⇒ b+d=1⇒ d=1-b</i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>Respuesta:</i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>Sí, siendo f(x)=ax+b; g(x)=-ax+1-b y h(x)=(ax+b)(-ax+1-b)=-a^2 x+a(1-2b)x+b(1-b)</i></span></p><p><span style="font-family: arial;"><i></i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>Los puntos de tangencia de f y g con h son, respectivamente, x=-b/a y x=-d/c</i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i>En el siguiente applet de GeoGebra se podrán visualizar algunas soluciones:</i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><i><br /></i></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"></span></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: left;"><span style="font-family: arial;"><a href="https://www.geogebra.org/m/k7ppsgty" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img border="0" data-original-height="835" data-original-width="1088" height="493" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJU8ZSRMBsk0_RQmA1OWOsZoXKdri6Sqvb2L3pTGmTZhC20cTPWE9-tAz_9IP2ggH9pLXJUNGHRC8fkG9ydx_itEc5othJE3BAB76La1WnOs978B5TZhGOk1cCwbAFDLbh0__UMWfKP3t-wbyAQ85x8EIe3smEevLTkbE5Xj_RmSk999aBgSpQt2yKpVog/w640-h493/Captura%20de%20pantalla%202024-03-02%20190725.png" width="640" /></a></span></div><span style="font-family: arial;"><i><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i><br /></i></div><div style="text-align: center;"><i>Enlace: <a href="https://www.geogebra.org/m/k7ppsgty">https://www.geogebra.org/m/k7ppsgty</a></i></div></i></span><p></p><div style="text-align: center;"><br /></div>
Nicolás Guillén Escalonahttp://www.blogger.com/profile/05693358968873449029noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-68673673451067237972023-09-22T12:38:00.005+02:002023-09-28T10:02:40.517+02:00¡Participamos en la Semana de la Programación de la Unión Europea 2023!<p style="text-align: justify;"> <span> </span>Estudiantes de nuestro centro, del ámbito científico-tecnológico de la ESPA NII, participarán en octubre de 2023 en la "Semana de la Programación de la Unión Europea". Esta actividad es una iniciativa popular, organizada por voluntarios de los diversos países de la Unión Europea.</p><p style="text-align: justify;"><span> </span>Los objetivos principales de dicha actividad son:</p><p></p><ul style="text-align: left;"><li style="text-align: justify;">Promover el pensamiento computacional, la programación y las actividades relacionadas con la tecnología.</li><li style="text-align: justify;">Plasmar ideas gracias a la programación y hacer que esta sea más visible.</li><li style="text-align: justify;">Reunir a personas motivadas y aprender sobre nuestro mundo digital.</li></ul><div style="text-align: justify;"><span> </span>En la actividad que pretendemos llevar a cabo en nuestro centro añadimos una introducción básica a la Inteligencia Artificial (IA), en particular usando ChatGPT.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><span> </span>La idea es fomentar la integración de la innovación en los sistemas educativos, ofrecer a todos los estudiantes la posibilidad de dar sus primeros pasos como creadores digitales y también empoderar a los estudiantes y ayudarles a comprender mejor el mundo que les rodea.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><span> La actividad con la que pretendemos participar se denomina:</span><br /></div><p></p><blockquote><div style="text-align: justify;"><b>"Uso de ChatGPT y Python para el desarrollo del pensamiento crítico y computacional"</b></div></blockquote><p> </p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEKnRv2_24f515jURngtyULv6sRHJeL9rAJv8nQ3uAzK0my5QEhmfdbd4WZbIyD58uXE86rIfWY686I-yGMInE1B66YxEC0our93R-1EvFL4pr7NZx6ZMJfTCrRUyWcfSnLYbybY8hJB8-o5IeZVMvlf-ZEUoVIth1anHk_IjT60jQ2Aa62W5QQdoPdqWS/s500/logo%20personalizado%20IESF1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="500" data-original-width="500" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEKnRv2_24f515jURngtyULv6sRHJeL9rAJv8nQ3uAzK0my5QEhmfdbd4WZbIyD58uXE86rIfWY686I-yGMInE1B66YxEC0our93R-1EvFL4pr7NZx6ZMJfTCrRUyWcfSnLYbybY8hJB8-o5IeZVMvlf-ZEUoVIth1anHk_IjT60jQ2Aa62W5QQdoPdqWS/w400-h400/logo%20personalizado%20IESF1.png" width="400" /></a></div><p></p><blockquote><div style="text-align: justify;"><b><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><br /></div></b></div></blockquote><div style="text-align: justify;"><span> El</span> alumnado participante usaría ChatGPT como una especie de asistente para resolver problemas matemáticos de carácter aritmético. Desarrollarían habilidades de pensamiento crítico al plantearle preguntas, analizar el razonamiento de las respuestas que proporcione la IA y entender los conceptos detrás de las soluciones o respuestas. Además, podrían explorar cómo se pueden implementar algoritmos en Python para resolver alguno o parte de los problemas que planteen, elaborando previamente un algoritmo de resolución simple, solicitando a ChatGPT que lo codifique, probándolo, comprobando su eficacia y modificándolo, si es necesario, para que sea más eficiente.</div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;">Le daremos especial importancia al uso ético de la IA, mostrando, explicando y teniendo siempre presente el siguiente decálogo elaborado <i>ad hoc:</i></div><div style="text-align: justify;"><br /></div><div style="text-align: justify;"><div><div><u>Decálogo Ético para el Uso Responsable de ChatGPT y la Inteligencia Artificial en la Educación</u></div><div><u><br /></u></div><div>1. Utiliza la IA como una herramienta de aprendizaje: La inteligencia artificial puede ser una excelente herramienta de apoyo en tu proceso educativo, pero no debe reemplazar el esfuerzo y la reflexión personal en el aprendizaje.</div><div>2. Valora el conocimiento humano: Reconoce que la IA es una creación humana y que el conocimiento y la sabiduría de tus profesores y compañeros son invaluables. No sustituyas el diálogo y la interacción humana por completo.</div><div>3. Verifica y cuestiona la información: La IA puede generar respuestas precisas, pero no siempre tiene en cuenta el contexto. Siempre verifica la información que obtengas y sé crítico al evaluar su calidad y relevancia.</div><div>4. Respeta la privacidad y los derechos de autor: No compartas información personal o confidencial a través de la IA, y respeta los derechos de autor al citar adecuadamente las fuentes de información que utilices.</div><div>5. No promuevas el odio ni el prejuicio: Evita utilizar la IA para difundir mensajes ofensivos, discriminatorios o perjudiciales hacia cualquier individuo o grupo.</div><div>6. Fomenta la creatividad y el pensamiento crítico: No te limites a utilizar la IA como una fuente de respuestas simples. Utilízala como una herramienta para explorar, aprender y desarrollar tus habilidades de pensamiento crítico y resolución de problemas.</div><div>7. Sé consciente del sesgo: Reconoce que los modelos de IA pueden tener sesgos inherentes. Trata de minimizar estos sesgos al usar la IA y busca diferentes perspectivas.</div><div>8. Mantén un equilibrio entre el mundo digital y el mundo real: No permitas que la IA domine tu vida. Dedica tiempo a actividades fuera de la pantalla y a relacionarte con otros de manera directa.</div><div>9. Colabora y comparte conocimientos: La IA puede facilitar la colaboración y el intercambio de información. Aprovecha esta oportunidad para aprender de tus compañeros y enseñar lo que sabes.</div><div>10. Actualízate constantemente: La tecnología avanza rápidamente. Mantente informado sobre los desarrollos en inteligencia artificial y adapta tu ética digital a medida que evoluciona la tecnología.</div></div><div><br /></div><div>¡Esperamos con impaciencia y ganas el desarrollo de la actividad que promete ser muy interesante!</div><div><br /></div></div><div><br /></div>Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-37412966582643809502022-06-23T12:30:00.006+02:002022-06-24T12:14:12.134+02:00EVAU-PEVAU: examen resuelto de Matemáticas II de Navarra (convocatoria ordinaria, junio 2022)<p style="text-align: justify;"> Siempre tengo por costumbre analizar, y en algunos casos resolver, los exámenes de la antigua "Selectividad" que proponen las diversas universidades en España. Al margen de curiosidades y sin intención de expresar mi opinión sobre el modelo y las diferencias entre comunidades autónomas, que la tengo, siempre me ha resultado interesante la propuesta de la Comunidad de Navarra. Este año me ha dado por resolver el examen completo de Matemáticas II, en la convocatoria ordinaria de junio, y aquí lo muestro por si hay alguien curioso que lo haya hecho o intentado hacer y quiera contrastarlo. Se agradecen las sugerencias y comentarios.</p><p><br /></p>
<iframe allow="autoplay" height="800" src="https://drive.google.com/file/d/1DGXCHjFDhJ-dfxACe3HJYbhP0Z8DeY_w/preview" width="640"></iframe>Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-66100275673262619402022-03-30T13:34:00.000+02:002022-04-01T13:01:41.626+02:00Ruta matemática por el Paseo Marítimo de Fuengirola<p style="text-align: justify;"><span style="color: #212121; font-family: "Open Sans", sans-serif; font-size: 16px; font-variant-ligatures: none;">Como consecuencia de la participación en un MOOC internacional, dentro de un proyecto europeo denominado MaSCE³ (</span><span style="box-sizing: border-box; font-size: 11pt; font-variant-ligatures: none; vertical-align: baseline;"><em style="box-sizing: border-box;">Math Trails in School, Curriculum and Educational Environments of Europe)</em></span><span style="box-sizing: border-box; font-size: 11pt; font-variant-ligatures: none; vertical-align: baseline;"> </span><span style="color: #212121; font-family: "Open Sans", sans-serif; font-size: 16px; font-variant-ligatures: none;">, un grupo de a</span><span style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans", sans-serif; font-size: 16px; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal;">lumnas del ámbito Científico-Tecnológico de la ESPA NII Semipresencial, durante el curso académico 2020-2021,</span><span style="color: #212121; font-family: "Open Sans", sans-serif; font-size: 16px; font-variant-ligatures: none;"> participó en una ruta matemática, elaborada con la aplicación </span><em style="box-sizing: border-box; color: #212121; font-family: "Open Sans", sans-serif; font-size: 16px; font-variant-ligatures: none;"><a href="https://mathcitymap.eu/es/" target="_blank">MathCityMap</a>,</em><span style="color: #212121; font-family: "Open Sans", sans-serif; font-size: 16px; font-variant-ligatures: none;"> que consistía en realizar un paseo donde tienen que realizar actividades matemáticas. En la siguiente presentación se cuenta y muestra la experiencia:</span></p><p style="text-align: justify;"><span style="color: #212121; font-family: "Open Sans", sans-serif; font-size: 16px; font-variant-ligatures: none;"><br /></span></p>
<iframe src="https://docs.google.com/presentation/d/e/2PACX-1vRlxemGVptr0YrDDaHs0_yCuFt81U85arzB9W7TBU_i_Kp3Nvr38oOOkct9cTcp0TGrBbuVSFWHc4Nz/embed?start=true&loop=false&delayms=10000" frameborder="0" width="650" height="430" allowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true" webkitallowfullscreen="true"></iframe>Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-64222537421188676442022-03-30T13:15:00.002+02:002022-04-28T18:49:28.744+02:00Transformaciones de la curva y=x² que permite obtener la gráfica de cualquier función cuadrática (y de propina cómo deducir la solución real, si existe, de cualquier ecuación cuadrática) <div style="text-align: justify;">La idea de esta entrada es justificar que la gráfica de cualquier función cuadrática (f(x)=ax²+bx+c) se puede obtener mediante transformaciones de la gráfica de la curva y=x² (parábola básica de todos conocida). Cuando hablamos de transformaciones nos referimos a traslaciones horizontales o verticales, o bien dilataciones o contracciones, de la gráfica. Se entiende que consideramos funciones reales de variable real, así como parámetros reales.</div><div style="text-align: justify;">Supongamos la función cuadrática:</div><div style="text-align: justify;"><span style="background-color: white; text-align: start;"><span face="Open Sans, Helvetica, Arial, sans-serif" style="color: #444444;"><span style="font-size: 14px;">$$f(x)=ax^{2}+bx+c,a\neq 0$$</span></span></span></div><div style="text-align: justify;"><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">Multiplicamos y dividimos entre $a$ para que el coeficiente de $x^2$ sea 1 y nos facilite los cálculos:</span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="text-align: left;">$$a\cdot \left( \dfrac{ax^{2}+bx+c}{a}\right) =a\cdot \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$$</span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="text-align: left;">Observamos que $x^{2}+\dfrac{b}{a}x$ </span><span style="text-align: left;">"casi" es el cuadrado de una suma, la de $\left( x^{2}+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}$, ya que:</span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">$$\left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=x^{2}+2x.\frac{b}{2a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Únicamente faltaría el término $\frac{b^{2}}{4a^{2}}$, pero podemos hacer que aparezca fácilmente sumando y restando dicho término en la expresión que hay dentro del paréntesis (leer nota al final *):</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">$$a\left (x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )=a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right )=a\left [ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right ]$$</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Si llamamos $k=\frac{b}{2a}$ y $h=\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}$, hemos demostrado que cualquier polinomio de grado 2, $ax^{2}+bx+c$, se puede expresar de la forma:</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">$$f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x+k)^{2}+h$$</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Se puede observar que cualquier función cuadrática se puede expresar como una combinación de transformaciones de la función cuadrática base $y=x^{2}$:</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">$k$ indica una traslación horizontal hacia la derecha ($k<0$) o la izquierda ($k>0$)</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">$h$ una traslación vertical hacia arriba ($h>0$) o hacia abajo ($h<0$)</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">$a>0$ sería una dilatación ($0<a<1$) o contracción ($a>1$).</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">En el caso de que $a<0$, entonces $-a>0$ y únicamente hay que recordar que $-f(x)$ es una simetría respecto el eje de abscisas de $f(x)$.</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Ejemplo:</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;">Se puede comprobar con una situación real como puede ser el lanzamiento a canasta que se simula en el siguiente enlace realizado en Geogebra.</p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><a href="https://www.geogebra.org/m/rra7enq7">Transformación de funciones (ejemplo con modelización)</a><br /></p><div><span style="font-family: arial;"><span style="line-height: 107%;">Nótese
que, en el caso del lanzamiento, la resolución de la ecuación cuadrática $f(x)=0$</span><span style="line-height: 107%;"> proporcionaría
la distancia desde el lanzamiento del balón cuando éste toca el suelo (habría
otra solución de la ecuación que, en este caso, por motivos obvios, no tendría
sentido en el contexto del problema y el significado de la variable x).</span></span></div><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"></p><div class="separator" style="clear: both; text-align: center;"><a href="https://www.geogebra.org/m/rra7enq7" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;" target="_blank"><img border="0" data-original-height="542" data-original-width="1660" height="294" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhefYqJLXxetRjdvf8OaJwi3xCIRHLxVxSIt6QCPuriFw_eOBOg3Ga82n8bYW1xb0SOdZleOviO8qnRQTK2a9gwAkOBgabBHc1fZJO5A8zTgZ0yTP_kluIsaedc4_1csAr0bKSngEgrxMKUnwWL7LHDPvHISfH5OChPgtYxdRBs2_tlFlbEsnL_eJTqNQ/w640-h294/Captura.PNG" width="640" /></a></div><p></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="text-align: left;">(*) </span><span style="font-size: 11pt;"><span style="font-family: arial;">Esta
técnica se denomina “completar el cuadrado”, que también es muy útil para
resolver ecuaciones cuadráticas completas ya que:</span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><span style="font-size: 14.6667px;">$$ax^{2}+bx+c=0, a\neq 0\rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$</span></span></p><p style="text-align: left;"><span style="font-family: arial;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">Por
comodidad expresamos la ecuación cuadrática de forma que el coeficiente de $x^2$ </span><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;">sea 1. Ahora completamos el cuadrado en </span></span><span style="font-family: arial; font-size: 14.6667px;">$x^2+\frac{b}{a}x$</span><span style="font-family: arial;"><span style="font-size: 11pt; line-height: 107%;"> </span></span><span style="font-family: arial;"><span style="font-size: 14.6667px;">. Para ello, y teniendo en cuenta que </span></span><span style="text-align: justify;">$$\left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$, únicamente tendremos que hacer lo que ya hicimos en otra ocasión, sumar y restar </span><span style="text-align: justify;">$\frac{b^{2}}{4a^{2}}$</span><span style="text-align: justify;">. Así pues:</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">$$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=0\rightarrow \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=0$$</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">Ahora agrupamos $\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=\frac{4ac-b^{2}}{4a^{2}}=-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$ y aislamos $\left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">Teniendo en cuenta que $4a^2>0$, si $b^2-4ac>0$ tendremos dos soluciones reales:</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">$$x+\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">$$x+\frac{b}{a}=-\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">A $b^2-4ac$ se le suele llamar "discriminante" de la ecuación de segundo grado y se suele representar con el símbolo $\Delta$. Nótese que conocer el signo del discriminante permitirá saber con antelación si la ecuación va a tener solución real o no y cuántas si la respuesta es afirmativa:</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">Si </span><span style="text-align: justify;">$b^2-4ac>0$, hay dos soluciones reales como hemos visto antes: despejando $x$ de las expresiones anteriores obtenemos la "fórmula" de todos conocida:</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">$$x=-\frac{b}{a}\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">Si </span><span style="text-align: justify;">$4a^2<0$, no hay solución real alguna (la raíz cuadrada de un nº negativo no es real).</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">Si </span><span style="text-align: justify;">$4a^2=0$, sólo hay una solución real: </span><span style="text-align: justify;">$x=-\frac{b}{a}$</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">Ejemplo 1:</span></p><p style="text-align: justify;">$x^{2}+4x=13\rightarrow x^{2}+4x-13=0\to x^{2}+4x+4-4-13=0\to (x+2)^2-17=0\to$</p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">$\to (x+2)^2=17\to x+2=\pm \sqrt{17}\to x=-2\pm \sqrt{17}$</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">Si previamente se hubiese calculado el discriminante ($\Delta=4^2-4.(-13)>0$) se sabría de antemano que la ecuación posee dos soluciones reales.</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">Ejemplo 2:</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">$$3x^{2}+6x-5=0\to x^{2}+2x-\frac{5}{3}=0\to x^{2}+2x+1-1-\frac{5}{3}=0\to$$</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;">$$\to(x+1)^2=\frac{8}{3}\to x+1=\pm \sqrt{\frac{8}{3}}=\pm \frac{2\sqrt{6}}{3}\to x=-1\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{-3\pm2\sqrt{6} }{3}$$</span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;"><br /></span></p><p style="text-align: left;"><span style="text-align: justify;"><br /></span></p><p style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial; font-size: 14.6667px;"><br /></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><span style="font-size: 14.6667px;"><br /></span></span></p><p class="MsoNormal" style="text-align: justify;"><span style="font-family: arial;"><span style="font-size: 14.6667px;"><br /></span></span></p></div>Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-19983651367765858472019-04-18T18:19:00.002+02:002019-04-18T18:20:46.908+02:00Combinatoria y Probabilidad: trabajo de investigación (2ª evaluación)<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Continuando con la dinámica de la materia optativa de Estadística en 2º de Bachillerato, en esta segunda evaluación les propuse unas pequeñas investigaciones relacionadas con la combinatoria y la probabilidad. En este caso opté por "gamificar" con una propuesta a cada uno de los grupos usando una plantilla de Genially.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">La idea era sencilla, proponerles cinco misiones, ubicadas en cada una en los respectivos cinco continentes y apoyándome en situaciones o historias contextualizadas.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">En cada una de mas misiones tenían que utilizar sus conocimientos sobre combinatoria (primera misión) y probabilidad (resto de misiones). En cada misión se les ponía en situación y se les hacía preguntas, con diversas opciones de respuesta. Si no acertaba se le ofrecía una pista que, previsiblemente, les permitía corregir el error y seguir avanzando. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">El orden en cada misión no era relevante, pero sí el código que obtenían en cada misión, una vez resuelta, ya que dicho código ordenado les permitía abrir una caja fuerte donde podían leer un último mensaje y una acción que tenía que realizar el representante de cada grupo.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Todos los grupos terminaron con éxito las cinco misiones, usando más o menos pistas según los errores que iban cometiendo.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">La experiencia resultó gratificante, distinta y divertida, esa era la excusa para usar una tarea de gamificación pero, la idea auténtica era captar su atención para conseguir una implicación y motivación para afrontar unas situaciones de aprendizaje donde cada grupo tenía que debatir, reflexionar, analizar críticamente la información y actuar, tomando decisiones sobre la base de unos conocimientos, procedimientos y técnicas en combinatoria y probabilidad.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Al final, debían elaborar una presentación como apoyo a una defensa oral de cómo han resuelto cada una de las misiones.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">La propuesta se les presentó a través de la siguiente presentación:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="width: 100%;">
<div style="height: 0; padding-bottom: 56.25%; padding-top: 0; position: relative;">
<iframe allowfullscreen="true" allownetworking="all" allowscriptaccess="always" frameborder="0" height="480px" scrolling="yes" src="https://view.genial.ly/5c8165c9173b166bd5a36c0a" style="height: 100%; left: 0px; position: absolute; text-align: center; top: 0px; width: 100%;" type="text/html" width="590px"></iframe> </div>
</div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">A continuación muestro una de las presentaciones de apoyo a la defensa oral que hico uno de los grupos, llamado "Panatic". Evidentemente falta la parte oral, en mi opinión el complemento ideal, pero algo es algo.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="true" frameborder="0" height="480" mozallowfullscreen="true" src="https://docs.google.com/presentation/d/e/2PACX-1vQQKW7pc2ljECrA1jnCW2MFvpMw2OqAJBq9YBhB7XyBkQbdnAEf6eAGyAQWCxD98bXcH-KU8W25R6Kx/embed?start=true&loop=false&delayms=60000" webkitallowfullscreen="true" width="590"></iframe>
</div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-60547743352494126692019-04-18T17:30:00.002+02:002021-04-24T09:08:45.164+02:00Estadística descriptiva: trabajo de investigación (1ª evaluación)<div style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Durante este curso académico 2018-2019, en la optativa de Estadística de 2º de Bachillerato, he considerado oportuno y relevante que el alumnado, en grupos colaborativos, realizasen una humilde investigación donde tuviesen que aplicar parte de lo trabajado, analizado y estudiado en relación a contenidos relativos a la Estadística Descriptiva (variables estadísticas unidimensionales y bidimensionales).</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Previa explicación del trabajo que tenían que realizar, además de una parte práctica en el aula de informática donde les he mostrado algunos aspectos básicos del programa Geogebra, han tenido tiempo suficiente para ir desarrollando el trabajo que, previo a la exposición oral y defensa del mismo, tenían que elaborar una presentación como apoyo a la misma.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Tanto el trabajo como la exposición oral y defensa del mismo han sido evaluados con rúbricas.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">El esquema para el desarrollo y elaboración del trabajo se les mostró previamente:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgM7ITqUhyphenhyphenSPoKACZx-qIEUjGysubPXwU5NDix3Gx2zv8EE9vneF9XltECf8j7FVm4n_d2v_ax_IWOaFqbFf5DOBFeKRH-faraOT5txEgnqB4WhqTec7Rnp7Zwv07BCtVqF8Y3gEP2BKgKq/s1600/1.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="602" data-original-width="514" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgM7ITqUhyphenhyphenSPoKACZx-qIEUjGysubPXwU5NDix3Gx2zv8EE9vneF9XltECf8j7FVm4n_d2v_ax_IWOaFqbFf5DOBFeKRH-faraOT5txEgnqB4WhqTec7Rnp7Zwv07BCtVqF8Y3gEP2BKgKq/s1600/1.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">El trabajo en sí consistía en un par de supuestos reales (el segundo sí que lo es), donde tenían que responder a unas preguntas:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><b>Investigación 1</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><b><br /></b></span></div>
<div class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto; text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Supongamos una situación real hipotética, el dueño de una panadería
está preocupado porque sospecha que las barras de pan que vende tienen un peso
demasiado variable, de forma que algunas pueden estar incluso por debajo de los
límites que marca la ley. Se utilizan dos máquinas para hacer pan y también
trabajan dos operarios, unos días hace el pan uno y otros días, el otro. La
siguiente tabla contiene los pesos (en gramos) de una muestra de barras de pan
que se han ido recogiendo durante 20 días.</span><b><o:p></o:p></b></div>
<div class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto; text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBMsLf0Q5QlMq7wBl4HAuC2D4WJO9u_GjRJPsDBfb4XDvEKpDkQgNQPdA9bE7kzogZnt-WRoWxCvbGvtN-OKC3o8NUzmbW2zReVGLULb5XGCJ1hxZAGnYvZHToW5fjQTYzy_Aq46-Olvz0/s1600/2.bmp" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="553" data-original-width="566" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjBMsLf0Q5QlMq7wBl4HAuC2D4WJO9u_GjRJPsDBfb4XDvEKpDkQgNQPdA9bE7kzogZnt-WRoWxCvbGvtN-OKC3o8NUzmbW2zReVGLULb5XGCJ1hxZAGnYvZHToW5fjQTYzy_Aq46-Olvz0/s1600/2.bmp" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">El peso debe ser de 220 ± 10 gramos y supondremos que estos
datos son representativos de la producción general. Las preguntas que se
plantean, para dar respuesta a la preocupación del dueño, son: ¿existe
algún problema? Si es así, ¿qué está ocurriendo? ¿qué hay que hacer para
resolver el problema?<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Para intentar responder a las
inquietudes del dueño, llevaréis a cabo una pequeña investigación usando
vuestros conocimientos estadísticos hasta ahora. Para ello…<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><u>Organización de los datos y
análisis de los mismos, preguntas que se podrían responder</u>:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="mso-list: l0 level1 lfo1; text-align: justify; text-indent: -18pt;">
</div>
<ul>
<li style="text-align: justify;"><span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">·<span style="font-size: 7pt; font-stretch: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; line-height: normal;"> </span>Representar gráficamente, usando un par de gráficos adecuados, todos los datos. Se hace
necesario, previamente, agrupar los mismos en una tabla de frecuencias. ¿Está justificada
la preocupación del dueño de la panadería?</span></li>
</ul>
<ul>
<li style="text-align: justify;"><span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">·<span style="font-size: 7pt; font-stretch: normal; font-variant-east-asian: normal; font-variant-numeric: normal; line-height: normal;"> </span>A raíz de lo analizado anteriormente, procedemos
a “estratificar” la investigación analizando por un lado las mediciones de los
dos operarios y, por otro lado, las mediciones en cada una de las máquinas.</span></li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoListParagraphCxSpLast" style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">En ambos casos
habría que proceder como en el apartado anterior para poder extraer, si es
posible, conclusiones claras que permitan finalizar la investigación. Por
ejemplo: ¿Los operarios se han comportado igual? ¿Y las máquinas?</span><o:p></o:p></div>
<div class="MsoListParagraph" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto; text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><b>Investigación 2</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpFirst" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto; text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Se quiere llevar a
cabo un estudio sobre la relación entre la tasa de paro y de abandono escolar
temprano en algunos países de la Unión Europea. Cuando hablamos de tasa de paro
nos referimos al % de desempleo dentro de la población activa, y cuando se
habla de abandono escolar temprano nos referimos a los habitantes, de entre 18
y 24 años, que finalizan su etapa escolar sin obtener el título de la ESO.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto; text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">La investigación consistirá en determinar si existe
relación entre la tasa de paro y de abandono escolar entre los países de la
Unión Europea. Se toman como datos para el estudio los resultados de los
países: España, Italia, Polonia, Irlanda, Holanda, Bélgica, Reino Unido,
Francia, Portugal y Austria.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto; text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Posteriormente, después del análisis anterior:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoListParagraphCxSpMiddle" style="margin-left: 0cm; mso-add-space: auto; text-align: justify;">
</div>
<ul>
<li style="text-align: justify;"><span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Estima la tasa de abandono escolar en Alemania sabiendo que
su tasa de paro media en 2017 fue del 3,8 %.</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Estima la tasa de paro de Dinamarca sabiendo que su tasa de
abandono escolar en 2017 fue del 8,8 %.</span></li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 115%;"><span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Analiza
la fiabilidad de las estimaciones.</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 115%;"><span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="line-height: 115%;"></span></div>
<div class="MsoNormal">
<u><span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Tasa de desempleo en algunos países europeos durante el año 2017</span><o:p></o:p></u></div>
<div class="MsoNormal">
<u><span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></u></div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid #000001; mso-border-insidev: .5pt solid #000001; mso-padding-alt: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; mso-yfti-tbllook: 1184; width: 118px;">
<tbody>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-firstrow: yes; mso-yfti-irow: 0;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 61.95pt;" valign="bottom" width="83"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">País<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-left: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 26.5pt;" valign="bottom" width="35"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">% <o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 1;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 61.95pt;" valign="bottom" width="83"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">Bélgica<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 26.5pt;" valign="bottom" width="35"><div class="MsoNoSpacing">
7,1<o:p></o:p></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 2;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 61.95pt;" valign="bottom" width="83"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">Irlanda<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 26.5pt;" valign="bottom" width="35"><div class="MsoNoSpacing">
6,7<o:p></o:p></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 3;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 61.95pt;" valign="bottom" width="83"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">España<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 26.5pt;" valign="bottom" width="35"><div class="MsoNoSpacing">
17,2<o:p></o:p></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 4;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 61.95pt;" valign="bottom" width="83"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">Francia<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 26.5pt;" valign="bottom" width="35"><div class="MsoNoSpacing">
9,4<o:p></o:p></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 5;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 61.95pt;" valign="bottom" width="83"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">Italia<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 26.5pt;" valign="bottom" width="35"><div class="MsoNoSpacing">
11,2<o:p></o:p></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 6;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 61.95pt;" valign="bottom" width="83"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">Holanda<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 26.5pt;" valign="bottom" width="35"><div class="MsoNoSpacing">
4,9<o:p></o:p></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 7;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 61.95pt;" valign="bottom" width="83"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">Austria<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 26.5pt;" valign="bottom" width="35"><div class="MsoNoSpacing">
5,5<o:p></o:p></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 8;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 61.95pt;" valign="bottom" width="83"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">Polonia<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 26.5pt;" valign="bottom" width="35"><div class="MsoNoSpacing">
4,9<o:p></o:p></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 9;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 61.95pt;" valign="bottom" width="83"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">Portugal<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 26.5pt;" valign="bottom" width="35"><div class="MsoNoSpacing">
9,0<o:p></o:p></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 10; mso-yfti-lastrow: yes;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 61.95pt;" valign="bottom" width="83"><div class="MsoNoSpacing">
<span style="mso-fareast-language: ES;">Reino Unido<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 26.5pt;" valign="bottom" width="35"><div class="MsoNoSpacing">
4,4<o:p></o:p></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<u><span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Abandono escolar temprano</span><o:p></o:p></u></div>
<div class="MsoNormal">
<u><span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></u></div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="0" class="MsoNormalTable" style="border-collapse: collapse; border: none; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid #000001; mso-border-insidev: .5pt solid #000001; mso-padding-alt: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; mso-yfti-tbllook: 1184; width: 147px;">
<tbody>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-firstrow: yes; mso-yfti-irow: 0;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 64.5pt;" valign="bottom" width="86"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: center;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">País/Año<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-left: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 46pt;" valign="bottom" width="61"><div align="center" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: center;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">%</span><o:p></o:p></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 1;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 64.5pt;" valign="bottom" width="86"><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">Bélgica<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 46pt;" valign="bottom" width="61"><div align="right" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: right;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">8,9<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 2;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 64.5pt;" valign="bottom" width="86"><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">Irlanda<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 46pt;" valign="bottom" width="61"><div align="right" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: right;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">5,1<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 3;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 64.5pt;" valign="bottom" width="86"><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">España<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 46pt;" valign="bottom" width="61"><div align="right" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: right;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">18,3<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 4;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 64.5pt;" valign="bottom" width="86"><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">Francia<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 46pt;" valign="bottom" width="61"><div align="right" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: right;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">8,9<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 5;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 64.5pt;" valign="bottom" width="86"><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">Italia<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 46pt;" valign="bottom" width="61"><div align="right" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: right;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">14,0<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 6;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 64.5pt;" valign="bottom" width="86"><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">Holanda<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 46pt;" valign="bottom" width="61"><div align="right" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: right;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">7,1<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 7;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 64.5pt;" valign="bottom" width="86"><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">Austria<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 46pt;" valign="bottom" width="61"><div align="right" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: right;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">7,4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 8;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 64.5pt;" valign="bottom" width="86"><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">Polonia<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 46pt;" valign="bottom" width="61"><div align="right" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: right;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">5,0<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 9;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 64.5pt;" valign="bottom" width="86"><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">Portugal<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 46pt;" valign="bottom" width="61"><div align="right" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: right;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">12,6<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr style="height: 14.25pt; mso-yfti-irow: 10; mso-yfti-lastrow: yes;">
<td style="background: rgb(198, 217, 241); border-top: none; border: 1pt solid rgb(0, 0, 1); height: 14.25pt; mso-background-themecolor: text2; mso-background-themetint: 51; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 64.5pt;" valign="bottom" width="86"><div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">Reino
Unido<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border-bottom: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-left: none; border-right: 1pt solid rgb(0, 0, 1); border-top: none; height: 14.25pt; mso-border-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-left-alt: solid #000001 .5pt; mso-border-top-alt: solid #000001 .5pt; padding: 0cm 3.5pt 0cm 3.25pt; width: 46pt;" valign="bottom" width="61"><div align="right" class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm; text-align: right;">
<span face=""arial" , "sans-serif"" style="font-size: 10pt;">10,6<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Fuente: Eurostat (Oficina Europea de Estadística)<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">Enlace: <span class="EnlacedeInternet"><a href="https://ec.europa.eu/eurostat">https://ec.europa.eu/eurostat</a></span></span><o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<div style="text-align: justify;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif">A continuación un ejemplo de presentación elaborada por uno de los grupos de nombre, muy apropiado por cierto, "Florence Nightingale":</span></div>
</div>
<iframe height="480" src="https://drive.google.com/file/d/19lq8Ay8sdBJqxf9apVT7R_rRh5jHaFgX/preview" width="640"></iframe>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0cm;">
<span face=""arial" , "helvetica" , sans-serif"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;"><br /></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-60757003309743038272018-11-21T08:46:00.002+01:002018-12-13T07:04:47.264+01:00Esquema general y ejemplo para afrontar un problema de optimización<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Los llamados problemas de optimización son aquellos en los que aparecen funciones reales en las cuáles necesitamos localizar sus extremos (máximo o mínimo). En la mayoría de los casos, dichas funciones están contextualizadas, es decir, modelizan una hipotética situación real.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">En todo “problema” de este tipo no existe un
método perfecto e infalible para resolverlo, lo que sí merece la pena, y mucho,
es plantearse previamente una serie de fases como:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">Fase
1: <u>¿Entiendo el enunciado y lo que se pide?</u> </span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Algo
que no hay que tomarse en vano, el entender qué información te están
proporcionando y qué es lo que te están pidiendo es vital. Y o</span><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">jo, que no estamos diciendo
con esto que sí ya sabemos cómo obtener la respuesta. Lo que se pretende es
concienciarnos de que es imprescindible, en primer lugar, entender y comprender
el texto, los datos y los que nos preguntan.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">Fase
2: Una vez que se ha entendido el enunciado y lo que se pide: <u>¿cómo uso la
información qué realmente necesito de forma que pueda plantear el problema en
términos que me permitan usar una estrategia, técnica o procedimiento general
para llegar a la solución?</u> Esta parte suele ser la más difícil ya que
consiste en trasladar una información, proporcionada en un texto y normalmente
con datos, a expresiones “manipulables” y “conocidas” que nos permita seguir
avanzando en la búsqueda de una posible respuesta. Conseguir esto <u>es lo que
se llama realizar el “planteamiento” del problema</u>. <u>En algunos casos, un
dibujo o gráfico puede ser muy útil, además de que siempre es importante usar
una notación y lenguaje que sea correcto y claro.<o:p></o:p></u></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><b>¿Qué se quiere
optimizar? Es decir, ¿qué tienes que calcular para conseguir el máximo o mínimo
valor de quién? <o:p></o:p></b></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Expresar
algebraicamente lo que quieres que alcance su valor máximo o mínimo, ésta será
la función para la cual habrá que encontrar el extremo (máximo o mínimo, según
lo que se pida). El valor de dicha función (sus imágenes) dependerá de una o
más variables. Para encontrar dicha función requiere, a veces, el uso de
imágenes o gráficos de apoyo que te ayuden a pensar en cómo conseguir esa
expresión algebraica que representa lo que se quiere maximizar o minimizar.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0.0001pt 21.3pt;">
</div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Os
recuerdo que estudiamos las funciones reales con una única variable, así que…<o:p></o:p></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0kYvPu93cS8se3dXaSf-ijQekwUt4yzHHU4nKGAbwSYlPSeW-ezh0ADka-yjP9dnizs-DMKsDuBFnZquhyYCSGqkHSu9xNkADT-fEfW0Khke_-A1pM4STDRcLX4ceXrAkhhjVPFggsIwZ/s1600/optimizaci%25C3%25B3n.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="307" data-original-width="577" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh0kYvPu93cS8se3dXaSf-ijQekwUt4yzHHU4nKGAbwSYlPSeW-ezh0ADka-yjP9dnizs-DMKsDuBFnZquhyYCSGqkHSu9xNkADT-fEfW0Khke_-A1pM4STDRcLX4ceXrAkhhjVPFggsIwZ/s1600/optimizaci%25C3%25B3n.PNG" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">Importante preguntarse para qué valores tiene sentido la expresión que se quiere maximizar o minimizar (lo que se denomina optimizar).</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">Fase
3: Esta parte es muy técnica pero el personal <u>no suele pensar</u> en <u>usar
un procedimiento eficiente y simple para obtener posible solución</u>. A veces
nos complicamos la vida con procedimientos largos que lo único que consiguen en
hacernos perder tiempo y aumentar la probabilidad de cometer un error (o más).
Por eso es muy útil, siempre, procurar conocer diversos procedimientos (o
caminos) para llegar a una posible solución (o destino); la práctica,
posteriormente, te permitirá “intuir” en cada momento cuál es el “camino” más óptima
para llegar al “destino”, entiéndase solución.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">Fase
4: <u>Concluir de forma coherente una respuesta</u>. A veces nos obcecamos e
impacientamos en llegar a una solución-respuesta y, por desgracia, a veces
ocurre que esa solución no tiene sentido o habría que matizarla. Es importante
por tanto, analizar si la respuesta obtenida es coherente con el enunciado y el
contexto del problema (si lo tiene).<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">Veamos un ejemplo ilustrativo </span><span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">que no
es más que eso, UN ÚNICO ejemplo. La
práctica es lo que te permitirá adquirir soltura, confianza e “intuición” para
tener más posibilidades de afrontar con éxito este tipo de problemas.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; margin-left: 21.3pt; margin-right: 0cm; margin-top: 0cm; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify; text-autospace: none;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">Enunciado:<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif"; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">Un nadador A se encuentra a 3 km de la playa enfrente de una caseta.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin: 0cm 0cm 0.0001pt 21.3pt;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif"; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-font-size: 12.0pt;">Desea ir a un punto B, situado en la misma playa, a 6 km de la caseta.
Sabiendo que nada a 3 km/h y anda por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar
debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif"; mso-bidi-font-family: Arial; mso-bidi-font-size: 12.0pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<b><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">Desarrollo:<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
<b><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">Fase 1:</span></b><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";"> <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">Entiendo
el enunciado y lo que se pide, teniendo en cuenta que cuando dice <i>“</i></span><i><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif"; mso-bidi-font-family: Arial;">Un nadador A se encuentra a 3 km de la playa enfrente de una caseta”</span></i><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif"; mso-bidi-font-family: Arial;">, lo que
quiere decir es que la dirección de A hacia la playa es perpendicular a la
dirección de la misma playa-orilla. Por otro lado, debo entender que las
velocidades de nado y de caminar son constantes (no lo dice y, entonces,
supongo el caso más simple).<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif"; mso-bidi-font-family: Arial;">Por último, cuando dice <i>“a qué lugar debe dirigirse a nado</i>”, entiendo que lo lógico es a un
lugar de la orilla que se encontrará situado entre la caseta y el punto B.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif"; mso-bidi-font-family: Arial;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif"; mso-bidi-font-family: Arial;">Fase 2:</span></b><b><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";"><o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-family: "verdana" , "sans-serif"; mso-bidi-font-family: Arial;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="line-height: normal; margin-bottom: 0.0001pt;">
</div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">En
este caso, realizar un dibujo ilustrativo de la situación ayuda bastante (tanto
a ti, para pensar en cómo plantear el problema, como para el que lo está
leyendo, ya que así puede entender lo que después vas a desarrollar para
justificar tu desarrollo y, por tanto, para encontrar la respuesta).<o:p></o:p></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidP8pxanNcI2kJT-yvIc6DzfBVMt68wEZbogKI-Yt0Cn4LuEuvs-mDjG1EcudMK-Dx9ErReUmyiZukDXhPmw8Yk1IIeK6frYYZ7Gto9adkuL8oK5-DOJGvR3BsUNXiem-wJmqQih9beiGx/s1600/optimizaci%25C3%25B3n2.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="218" data-original-width="466" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidP8pxanNcI2kJT-yvIc6DzfBVMt68wEZbogKI-Yt0Cn4LuEuvs-mDjG1EcudMK-Dx9ErReUmyiZukDXhPmw8Yk1IIeK6frYYZ7Gto9adkuL8oK5-DOJGvR3BsUNXiem-wJmqQih9beiGx/s1600/optimizaci%25C3%25B3n2.PNG" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhL75XfMjPACan0CIpn3bkfri71KU283AadiAsoHDv74DrxfFVTL76f6VvvYJz3qay7jZBsbJ02JrKR-TRoht-4YEnTkT0Xj4Q7QqpGdUfUC2Di7aa_Vt1w3gt4hwhY0N_Hc8Ah82Osc97F/s1600/optimizaci%25C3%25B3n3.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="305" data-original-width="629" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhL75XfMjPACan0CIpn3bkfri71KU283AadiAsoHDv74DrxfFVTL76f6VvvYJz3qay7jZBsbJ02JrKR-TRoht-4YEnTkT0Xj4Q7QqpGdUfUC2Di7aa_Vt1w3gt4hwhY0N_Hc8Ah82Osc97F/s1600/optimizaci%25C3%25B3n3.PNG" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVHi1TGcmYxi3GCw6vZjBgR1HWZquHp0MPxrLfZ7W_tz7IsYwfMVZ7CBZ6x_jafsx0sXexnKl5pgCMpWc9DzMD3h9WKKpGs2LUBNvaB1exy49QPZVytZ54GcNJdxYuQ6rwxcXR7Dzyfdve/s1600/optimizaci%25C3%25B3n4.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="632" data-original-width="634" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVHi1TGcmYxi3GCw6vZjBgR1HWZquHp0MPxrLfZ7W_tz7IsYwfMVZ7CBZ6x_jafsx0sXexnKl5pgCMpWc9DzMD3h9WKKpGs2LUBNvaB1exy49QPZVytZ54GcNJdxYuQ6rwxcXR7Dzyfdve/s1600/optimizaci%25C3%25B3n4.PNG" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";"><br /></span></div>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"></span></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-28659082197900627192018-01-19T00:54:00.002+01:002018-01-20T17:46:12.422+01:00Integrales trigonométricas: cambio de variable general<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">Las
integrales trigonométricas son particularmente “difíciles” por la casuística
que hay que tener en cuenta. Sin entrar en detalles de los cambios de variable,
según casos fácilmente detectables, y los “trucos” que algunas veces se
utilizan para convertir una integral trigonométrica en otra asequible, existe
un cambio general de variable que permite SIEMPRE convertir una integral
trigonométrica en una racional. Este cambio sólo se aconseja en casos de
desesperación, es decir, cuando se han agotado otras vías o nos es imposible
detectar la estrategia a seguir para conseguir resolver la integral de una
forma más sencilla.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , "sans-serif";">El cambio de variable es<b> t=tg(x/2)</b>, del cual se deduce que:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSRq5sDc4ka_wSVN5TWr_zW4_PgTPo56NDR3HE5ppnm1vGDgIivn-hDu4Uex2Yc15c9dvTJSiJkIfTuZIlUadLIgyJGzWXmIT0hvep32pcq7zb2o3bHlnqSuIXM05RXxH0eDIGNwP0Gb1Y/s1600/Captura.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="152" data-original-width="129" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiSRq5sDc4ka_wSVN5TWr_zW4_PgTPo56NDR3HE5ppnm1vGDgIivn-hDu4Uex2Yc15c9dvTJSiJkIfTuZIlUadLIgyJGzWXmIT0hvep32pcq7zb2o3bHlnqSuIXM05RXxH0eDIGNwP0Gb1Y/s1600/Captura.JPG" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">La justificación de las igualdades anteriores no son evidentes.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">En el siguiente <a href="https://drive.google.com/file/d/10I7ZH0ww9hlUXOi6MNpBO5wu2f_tko9u/view?usp=sharing" target="_blank">enlace</a> se encuentran las explicaciones y el desarrollo completo de algunos ejemplos seleccionados.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-88508825674057554272018-01-15T13:49:00.003+01:002018-01-16T18:53:07.973+01:00Editor de ecuaciones online útil para insertar en un correo electrónico<div style="text-align: justify;">
<span style="color: #414141; font-family: "verdana" , sans-serif;"><span style="background-color: white; font-size: 14px;">De todos es conocidos el editor de ecuaciones de Word o, si usamos Open Office o Libre Office, el insertar una ecuación en un documento de texto. A veces tenemos que hacer lo mismo on line. Para ello e</span></span><span style="background-color: white; color: #414141; font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: 14px;">xisten varios editores de ecuaciones online y MathCast es uno de ellos. Se trata de un editor de ecuaciones, concretamente una aplicación que permite introducir, de forma sencilla con un poco de práctica, fórmulas y símbolos matemáticos. Estas expresiones se pueden utilizar en documentos escritos y páginas web. MathCast es una aplicación gratuita y de código abierto.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: white; color: #414141; font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: 14px;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfdvqB-UAiKS0sHsVFuW8HKnPpqj5IVbEMKqBZJDDIHeLY6hNqUhpvy8hglIlp2fVxIfjstVoMDdVrj-SGJuvmqdlhtewEJZizH2YS1w8WoLoEd-oyRcy4mr78Vxs6pEr3hz1hyFoleSXJ/s1600/Captura.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="55" data-original-width="57" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjfdvqB-UAiKS0sHsVFuW8HKnPpqj5IVbEMKqBZJDDIHeLY6hNqUhpvy8hglIlp2fVxIfjstVoMDdVrj-SGJuvmqdlhtewEJZizH2YS1w8WoLoEd-oyRcy4mr78Vxs6pEr3hz1hyFoleSXJ/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: white; font-size: 14px;"><span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><span style="color: #414141;">Enlace: </span><a href="http://atomurl.net/math/" target="_blank"><span style="color: blue;">atomurl.net/math/</span></a></span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: white; font-size: 14px;"><span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><span style="font-size: 14px;">Uso: A veces escribimos un correo electrónico y nos resulta imposible insertar un símbolo o expresión matemática (a menos que lo hagamos como si fuera una imagen y lo insertemos). Ahora es más cómodo si lo que queremos hacer, por ejemplo, en un correo de Gmail. Si escribimos la expresión en el editor MathCast, después sólo tenemos que dirigirnos a "Direct Link" para copiar la dirección web y, posteriormente, insertar la imagen en el correo usando la opción de pegar la url anterior. Aparecerá la expresión matemática en la ventana donde estáis redactando el correo electrónico y podéis seguir escribiendo, insertando otra y luego enviar el mismo. Aunque no es imprescindible, está la opción de pinchar en "Make short link" para obtener dicho enlace pero más "corto".</span></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-48224430736411733312018-01-13T20:48:00.003+01:002018-01-13T20:50:32.599+01:00Raíces cuadradas sucesivas de un número positivo<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Toma una calculadora que permita calcular raíces cuadradas, no hace falta que sea científica. Ahora escribe un número positivo cualquiera y calcula su raíz cuadrada. Al valor obtenido le calculas también su raíz cuadrada...así sucesivamente con el nuevo número obtenido (a este proceso es a lo que llamo "raíces cuadradas sucesivas de un número positivo").</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Usando el lenguaje matemático te pido que:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDDeRm5OHm68hpjORW9jKwFWeD5wvLXwwKl58A6hc1ozqsdvmrcW8NBP6zRrf2V2Nq_DUrmRn2TMvn8s_MgYiCzXaiSz9i7CUn01M24wkN4qJ7L66-ePcsBE8wLfBTJMcwxiHGyPjZnYPc/s1600/raizcuadradasucesiva.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="34" data-original-width="311" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDDeRm5OHm68hpjORW9jKwFWeD5wvLXwwKl58A6hc1ozqsdvmrcW8NBP6zRrf2V2Nq_DUrmRn2TMvn8s_MgYiCzXaiSz9i7CUn01M24wkN4qJ7L66-ePcsBE8wLfBTJMcwxiHGyPjZnYPc/s1600/raizcuadradasucesiva.png" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: x-small;">Nota: los puntos suspensivos dentro de la expresión viene a indicar que realizamos la raíz cuadrada sucesiva una cantidad de veces n. Por ejemplo, si realizo n=3 veces sucesivas la raíz cuadrada de 5 lo escribiría así:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiagA8MH4r7FT5-PKSfKmxm_ewwcdOA8UarbfHW09yIomwXSPB-DFr6VDcfJTcv10q_BkiFVuQRqnut_ZrBbTdLp3E3IrGPrLZ6ubdNw7i8ZJl-6rLeefcCk3LHFc0tw6ubx4_HDabPbzHp/s1600/raizcuadradasucesiva5.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="32" data-original-width="109" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiagA8MH4r7FT5-PKSfKmxm_ewwcdOA8UarbfHW09yIomwXSPB-DFr6VDcfJTcv10q_BkiFVuQRqnut_ZrBbTdLp3E3IrGPrLZ6ubdNw7i8ZJl-6rLeefcCk3LHFc0tw6ubx4_HDabPbzHp/s1600/raizcuadradasucesiva5.png" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif; font-size: x-small;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Te propongo unas preguntas:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">1. Llegará un momento en que observarás algo "curioso" y, seguramente, <u>probarás con otro número positivo para comprobar si ocurre lo mismo</u>. ¿Podrías expresar qué has observado?</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Para los que estáis en Bachillerato, lo que realmente os estoy preguntando es si existe, y es finito, el siguiente límite:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg27JA07WUQeyKC8n67c3bB39qkaaEr1RnN1Hijk09NENHQ0B7QYBlOVghoSpEILPUuEKv_nXfnrkHHgA_Sw7i8Ng-wFy_kLLuXTR8Y_1r_gMcvIVjBcSygUgf2KAWRmwq5lqNe86ZVU_Eb/s1600/limiteraizcuadradasucesiva.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="45" data-original-width="207" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg27JA07WUQeyKC8n67c3bB39qkaaEr1RnN1Hijk09NENHQ0B7QYBlOVghoSpEILPUuEKv_nXfnrkHHgA_Sw7i8Ng-wFy_kLLuXTR8Y_1r_gMcvIVjBcSygUgf2KAWRmwq5lqNe86ZVU_Eb/s1600/limiteraizcuadradasucesiva.png" /></a><span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">(siendo x>0)</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">2. ¿Cómo es posible que después de calcular una cantidad "finita" de raíces cuadradas sucesivas de un número positivo <u>llega un momento que en la pantalla aparece sólo el 1</u>?</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">3. ¿El valor al que siempre se llega en la pantalla es <u>exactamente</u> 1 o una aproximación cada vez más cercana por defecto o por exceso?</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Espero vuestras respuestas, y ya sabéis, ¡razonadas!</span></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-80818850489119240132017-02-18T21:22:00.003+01:002017-02-18T21:23:41.766+01:00Cuadernillo Matemático<div style="text-align: justify;">
Hace tiempo, en diciembre de 2005, se me ocurrió la idea de elaborar una especie de cuaderno con preguntas relacionadas con contenidos matemáticos. Lo hice pensando en un grupo de alumnos de 4º de ESO que tenía ese año y que eran muy curiosos, en el sentido de que les gustaban los retos y las propuestas que les hacía en clase. De ahí nació lo que llamé el "Cuadernillo Matemático" que adjunto a esta entrada por si alguien, si le parece bien y oportuno, lo pueda usar con sus alumnos. Está pensado para un nivel de 4º de ESO aunque, como es normal, hay cierta flexibilidad y puede ser usado también en 3º ESO Académicas o Bachillerato.<br />
<br /></div>
<iframe class="scribd_iframe_embed" data-aspect-ratio="0.7080062794348508" data-auto-height="false" frameborder="0" height="800" id="doc_82686" scrolling="no" src="https://www.scribd.com/embeds/339684633/content?start_page=1&view_mode=scroll&access_key=key-C8lYR6sd514FQcKmkPoW&show_recommendations=true" width="600"></iframe>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
¿Alguien se anima? Si es así, espero comentarios.</div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-69578198153217700182016-11-26T13:00:00.002+01:002016-11-26T13:01:59.977+01:00Pequeños o grandes, pero humildes, proyectos de investigación o experimentación, ¿te animas?<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">En algunas ocasiones, a veces de forma espontánea, propongo lo que yo llamo pequeñas y humildes experimentos o investigaciones. Observar, preguntar, reflexionar, pensar, planificar, experimentar, responder, comunicar...son palabras, más bien verbos, que forman parte de un hecho natural en el ser humano y un principio básico en la metodología científica: observamos y nos hacemos preguntas (hay veces que observamos y desconocemos lo que observamos, es natural que busquemos respuestas), queremos respuestas y para ello elaboramos hipótesis, finalmente llevamos a cabo experiencias (que hay que planificar) para ver si aceptamos o rechazamos nuestras suposiciones (hipótesis, o también para que surjan nuevas preguntas) Finalmente damos una explicación y la comunicamos (el acto de comunicar, difundir y compartir los resultados y sus consecuencias, no sólo es un acto de generosidad, es lo que ha hecho progresar a la humanidad)</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjaiCi4VhtrEt-5a8gdSa9IUm94k9N6UIkC9FhU1cCplB_5AexJSaqCh4T18GyO7cmYX-zT-KSwXJOf_777j52vx1RiMMtrk8A2LWxN0ZLebxCqNxVATo7YqlwA8y2BBsfUyQhnljXuBR22/s1600/metodocientifico.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjaiCi4VhtrEt-5a8gdSa9IUm94k9N6UIkC9FhU1cCplB_5AexJSaqCh4T18GyO7cmYX-zT-KSwXJOf_777j52vx1RiMMtrk8A2LWxN0ZLebxCqNxVATo7YqlwA8y2BBsfUyQhnljXuBR22/s640/metodocientifico.jpg" width="609" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Fases del método científico</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">La idea es simple: partimos de algo que observamos y nos hacemos preguntas. Ahora realizamos hipótesis, es decir, afirmaciones que pensamos van a ser ciertas en relación a lo que nos preguntamos. </span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Posteriormente pensamos (planificamos) el experimento o la investigación para intentar dar una respuesta, elegimos los instrumentos adecuados para obtener datos que nos permita justificar una respuesta coherente y sensata. Los instrumentos científicos pueden ser variados, como puede observar en el siguiente enlace obtenido de la wikipedia: <a href="https://es.wikipedia.org/wiki/Instrumento_cient%C3%ADfico" target="_blank"><span style="color: blue;">instrumentos científicos</span></a>. A veces no hacen falta instrumentos tan sofisticados, sino algunos de los más habituales como: regla milimetrada, hilo, compás, papel, etc. </span><span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">En algunas ocasiones es necesario buscar información relacionada con nuestra investigación, ya que puede ocurrir que alguien haya pensado en lo mismo y, por tanto, nos permita ahorrar trabajo y, por ejemplo, no caer en algunos errores. Ésta se puede encontrar en libros, revistas e incluso por Internet. En cualquier caso, siempre procura que sean fuentes de información fiables, es decir, que se pueda confiar en que dicha información es cierta.</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Realizamos el experimento y tomamos datos relevantes que nos van a interesar para luego extraer conclusiones. Estos datos son información que es conveniente organizar, bien con tablas o gráficos, ya que normalmente son números que resultan de medir algo, y que nos ayudarán a entender mejor los mismos.</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Posteriormente se intenta dar una respuesta a nuestras preguntas iniciales en base a los datos obtenidos en la experimentación y comprobando si nuestras hipótesis iniciales se cumplen o no.</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Por último, siempre es conveniente redactar todo lo acontecido en nuestra investigación y comunicarlo a otras personas.</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Propuesta: <b>Tomamos un libro de texto cualquiera que tengas este curso. ¿Te has preguntado cuál es el grosor de una de sus hojas?</b></span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">Eliges el libro de texto y una hoja cualquiera. Empiezas a hacer hipótesis del tipo "Creo que el grosor es de ....". Imagino que tomas tu regla e intentas medir el grosor de la hoja...llevándote una decepción porque el grosor es tan pequeño que no puedes observar con precisión su medida porque es menor que la longitud mínima que señala tu regla. ¿Qué hacer? Habrá que plantear algo que nos permite dar una respuesta a la pregunta y que valide, o no, nuestra hipótesis.</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;">¿Te animas?</span><br />
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: "verdana" , sans-serif;"><br /></span></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-28826447058787879912016-11-16T11:56:00.000+01:002016-11-17T18:00:10.533+01:00Míriam Bettinetti gana la IV Olimpiada Nacional de Estadística<div style="text-align: justify;">
Esta noticia la escribo un poco tarde pero ya lo dice el refrán, "Más vale tarde que nunca".</div>
<div style="text-align: justify;">
El curso pasado la alumna de 2º de Bachillerato de Ciencias de nuestro centro, Míriam Bettinetti Luque, participó junto con su tutor, Nicolás Guillén Escalona, en la IV Olimpiada Nacional de Estadística (organizada por el INE, Instituto Nacional de Estadística, la SEIO, Sociedad Española de Estadística e Investigación Operativa y la FEE, Facultad de Estudios Estadísticos de la Universidad Complutense de Madrid). Alrededor de 500 centros educativos de España pudieron participar en cualquiera de las siguientes categorías: Educación Secundaria Obligatoria, Bachillerato o Ciclos Formativos de Grado Medio.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFHW_MeVL8QfajYyL2VM77Ac4LQoI_-XhIYnXGKp1Kx4bwwNJThijMDPz7FRhADMMb45DWCuUAcmAtyWrY6IxqI6_Qky86FkY4c2YEOpTIyqAJYsqyrsQboMiV8w84slWWqFq4Sw65iLMn/s1600/olimpiada2016_poster_gran.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFHW_MeVL8QfajYyL2VM77Ac4LQoI_-XhIYnXGKp1Kx4bwwNJThijMDPz7FRhADMMb45DWCuUAcmAtyWrY6IxqI6_Qky86FkY4c2YEOpTIyqAJYsqyrsQboMiV8w84slWWqFq4Sw65iLMn/s320/olimpiada2016_poster_gran.jpg" width="226" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Los objetivos fundamentales de esta Olimpiada eran:</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<ul>
<li style="text-align: justify;">Promover la curiosidad y el interés en la Estadística entre los
estudiantes.</li>
<li style="text-align: justify;">Incentivar en los docentes el uso de nuevos materiales para la
enseñanza de la Estadística fomentando la utilización de datos reales y
buscando aplicaciones de los conocimientos estadísticos adquiridos. </li>
<li style="text-align: justify;">Mostrar y acercar el protagonismo de la Estadística en distintos
aspectos de la sociedad a estudiantes y docentes, dándola a conocer
como estudio universitario. </li>
<li style="text-align: justify;">Promover el trabajo en equipo y la colaboración para conseguir
objetivos comunes.</li>
</ul>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Nuestro alumna representó a nuestro centro por la categoría de Bachillerato, debiendo superar una primera fase que consistía en unas pruebas sobre conocimientos básicos, otra sobre el uso de fuentes de datos estadísticos oficiales y, por último, una prueba de interpretación de informes estadísticos.</div>
<div style="text-align: justify;">
Superada la 1ª fase (con 90 puntos de un máximo de 100), la segunda y última fase consistía en realizar una prueba de investigación estadística donde había que realizar un trabajo de análisis y explotación de un conjunto de datos que fue facilitado por el comité organizador. Este año los datos consistían en una muestra de 200 hogares españoles donde, en cada uno de ellos, se proporcionaba información sobre variables relacionadas con el hogar y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Después de varias semanas de trabajo para superar la 1ª fase y realizar el trabajo de la 2ª fase, nos llevamos la gran sorpresa de que el jurado había considerado el trabajo de Míriam el mejor en su categoría, obteniendo así el 1er premio y por tanto ser la ganadora de la IV Olimpiada Nacional de Estadística.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A continuación podeís ver el trabajo realizado para la 2ª fase:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="true" frameborder="0" height="480" mozallowfullscreen="true" src="https://docs.google.com/presentation/d/1AzwWJPJgvt8yIH-cdRNZRguzuazIGC5V9RkmrbrbAdI/embed?start=false&loop=false&delayms=3000" webkitallowfullscreen="true" width="590"></iframe>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Una vez conocida la noticia, y pasado un tiempo, nos llamaron para la entrega oficial del premio. Fue en la Delegación de Málaga del Instituto Nacional de Estadística (INE) y allí pudimos compartir un buen rato con los compañeros de clase de Estadística que asistieron al acto y donde a todos, previo al acto, pudimos disfrutar de una charla donde los trabajadores del INE de Málaga nos mostraron el trabajo que realizan allí.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPdrsRbF5HPoxtQl9Dec8xa5PJsrgfhkc51xl2kvVCgMNLhfGaTT07UBFGaTaP-VFIIb8Ejfmslsbk22QnYrdVOkMlEliCV6rm-8eIqbzTVHfJBtceGyAUk_pHXuslkeQzwLeQ2FHDgehyphenhyphen/s1600/MiriamBettinetti.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPdrsRbF5HPoxtQl9Dec8xa5PJsrgfhkc51xl2kvVCgMNLhfGaTT07UBFGaTaP-VFIIb8Ejfmslsbk22QnYrdVOkMlEliCV6rm-8eIqbzTVHfJBtceGyAUk_pHXuslkeQzwLeQ2FHDgehyphenhyphen/s400/MiriamBettinetti.jpg" width="265" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Míriam Bettinetti Luque, ganadora de la IV Olimpiada Estadística</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinGzGSNZ3UuTUD95X7GQb8FyoO62EPgSpjOnWP-fzEt-VfBdorT45s9cLUXFyWWl_cR8faCS8_vPqaowIzLhcQtH5xi5xKLvv31EiXa7VZ9ODIPyuEBeMHdDx88C11Mja5-YSot8Gc4ujs/s1600/fotogrupo.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="425" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinGzGSNZ3UuTUD95X7GQb8FyoO62EPgSpjOnWP-fzEt-VfBdorT45s9cLUXFyWWl_cR8faCS8_vPqaowIzLhcQtH5xi5xKLvv31EiXa7VZ9ODIPyuEBeMHdDx88C11Mja5-YSot8Gc4ujs/s640/fotogrupo.jpg" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Foto de grupo con compañeros de clase, finalistas y autoridades</td></tr>
</tbody></table>
<br />
¡Enhorabuena Míriam! Y gracias por haberme hecho partícipe de tu interés, entrega y trabajo. ¡Ha sido un placer tenerte como alumna y haber podido trabajar contigo!<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
En el siguiente enlace se puede ver toda la información de la IV Olimpiada Estadística:</div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="http://www.ine.es/explica/olimpiada2016_inicio.htm"><span style="color: blue;">http://www.ine.es/explica/olimpiada2016_inicio.htm</span></a></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-90398218866574331772016-03-25T13:30:00.000+01:002016-04-07T10:44:37.197+02:00Liga de campeones, regla del producto y probabilidades<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Soy seguidor en Twitter de Eduardo Sáenz de Cabezón, <a href="https://twitter.com/edusadeci" target="_blank"><span style="color: blue;">@edusadeci</span></a>, desde hace tiempo, a raíz de un monólogo científico muy simpático y ya muy conocido: "<a href="https://youtu.be/jej8qlzlAGw" target="_blank">Las matemáticas son para siempre</a>".</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Por cierto, también tiene un canal en Youtube, llamado <a href="https://t.co/6wWuuGX97R" target="_blank"><span style="color: blue;">Derivando</span></a>, que trata de temas matemáticos expuestos de forma simple y amena.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">A veces lanza un "tuit-reto" matemático y, claro, como a mí también me gusta proponer alguno a mis alumnos, me siento aludido y, para ser consecuente y dar ejemplo, lo acepto. En este caso habla sobre la probabilidad de que haya un emparejamiento de equipos españoles en el sorteo de cuartos de final de la Liga de Campeones, conocida también por la <i>Champions League</i>. El tuit en cuestión era el siguiente:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8YB5-R3NLbAnMS8rLyWArMjOrY_ROmVLKXOWhBKRkiMitM-CyntuH8WDOpJw5WAdHeA6hSIRLtQhruJr4u1tewrwV3Tk94LZ7ol-MeRTMcvFjHtJjjHlpS5u8X8e6m2TJD5QIaTcCgW30/s1600/reto.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="368" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj8YB5-R3NLbAnMS8rLyWArMjOrY_ROmVLKXOWhBKRkiMitM-CyntuH8WDOpJw5WAdHeA6hSIRLtQhruJr4u1tewrwV3Tk94LZ7ol-MeRTMcvFjHtJjjHlpS5u8X8e6m2TJD5QIaTcCgW30/s400/reto.PNG" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Como no soy muy "futbolero", lo primero que tuve que hacer es enterarme de cómo se iba a realizar el sorteo. Parece ser que se trata de un sorteo abierto donde se extraen, de forma sucesiva y en una especie de ensaladera trasparente, bolas con forma de balón en cuyo interior se encuentra un papel con el nombre del equipo. Hay ocho bolas, cada una con el nombre de un equipo que ha llegado a cuartos de final, donde por cierto hay 3 equipos españoles (Real Madrid, Barcelona y Atlético de Madrid) y 5 no españoles (Wolfsburg, Benfica, Paris Saint-Germain, Manchester City y Bayern de Múnich). Las dos primeras bolas conforman el primer emparejamiento, las dos siguientes otro y así sucesivamente hasta obtener los cuatro emparejamientos. La información la he obtenido de la <a href="http://es.uefa.com/uefachampionsleague/season=2016/draws/round=2000636/index.html" target="_blank"><span style="color: blue;">página web de la UEFA Champions League</span></a> donde incluso se pueden ver los vídeos del sorteo.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Con la información completa, pasamos a la fase de pensar cómo se podría calcular la probabilidad pedida. Para no extenderme, tengo que confesar que, como dice Eduardo en el tuit, "no es tan fácil como parece": usé métodos que, aún siendo correctos en su planteamiento y permitiendo obtener una respuesta, no eran eficientes. Explico la no eficiencia: demasiados cálculos o con cierta complejidad en su planteamiento (pensando en mis potenciales alumnos de Secundaria o Bachillerato)</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Siempre me ha gustado, y como profesor me parece muy apropiado y didáctico, el analizar un problema desde distintos puntos de vista (usando distintas ideas, estrategias, procedimientos, ...) Pero me apasiona la búsqueda de un procedimiento simple con el que se puede resolver un problema matemático. La simplicidad en la resolución de los problemas es parte de la belleza que tienen las Matemáticas, y en este caso creo que encontré la idea simple que da con la solución a la pregunta en cuestión: la<b> regla del producto</b>...sí, aquella que dice que si tenemos 3 camisas y 5 pantalones distintos podemos vestirnos de 3.5=15 formas diferentes. Me explico:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">El sorteo de emparejamientos realizado por la UEFA para emparejar a los equipos en los cuartos de final de la Liga de Campeones se puede equiparar a ordenar los 8 equipos, previamente numerados del 1 al 8, de forma que los dos primeros conformarían un emparejamiento, los dos siguientes otro, etc. En este caso habría 8.7.6.5.4.3.2.1=8! formas de hacerlo (usando la regla del producto, hay 8 equipos a escoger la primera vez, 7 la segunda, 6 la tercera, etc.) </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMLz3Me2hhuUXKQUZw9ZxylpO85AEiXTpoJi1Pc8SMkpwQIjxcQ96zaRsAb6ReyOJkkPg-g_k3uAt3igt_vk89PjkvsWUSDAB3QKR_aI9GwhJQanBPNPzuKNR4n_leh945jm2T_ylCsHb_/s1600/emparejamiento1.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="61" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMLz3Me2hhuUXKQUZw9ZxylpO85AEiXTpoJi1Pc8SMkpwQIjxcQ96zaRsAb6ReyOJkkPg-g_k3uAt3igt_vk89PjkvsWUSDAB3QKR_aI9GwhJQanBPNPzuKNR4n_leh945jm2T_ylCsHb_/s320/emparejamiento1.png" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Ejemplo de ordenación de los ocho equipos</span></td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Es interesante hacer notar que cualquiera ordenación anterior es equiprobable, aspecto importante porque para calcular la probabilidad pedida sólo se va a utilizar la <b>regla de Laplace</b>.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Por otro lado, vamos a contabilizar las ordenaciones que permitirían un emparejamiento de equipos españoles: para ello imaginemos los ocho equipos ordenados y los separamos en bloques de 2 equipos (cada bloque conformaría un emparejamiento de cuartos de final)</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbzQyLQV45EthvHkFk4VkT8jzaBakMtFDkfTUwy2IxmGG2E-ilPu3ri5uENl6pE37RGeZgHo28oFZwyFASXe8PH7yJac8yg7b2OmPYglUFhj8DRBfiaBnNZS6-ZDoCtJ16kRHhWx0TOSSP/s1600/emparejamiento2.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="55" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjbzQyLQV45EthvHkFk4VkT8jzaBakMtFDkfTUwy2IxmGG2E-ilPu3ri5uENl6pE37RGeZgHo28oFZwyFASXe8PH7yJac8yg7b2OmPYglUFhj8DRBfiaBnNZS6-ZDoCtJ16kRHhWx0TOSSP/s320/emparejamiento2.png" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">2-7, 5-4, 1-3 y 6-8 serían los emparejamientos de cuartos de final</span></td></tr>
</tbody></table>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Tenemos que contabilizar las ordenaciones en las que hay dos equipos españoles en alguno de los cuatro bloques que conformarían un emparejamiento en cuartos. Fácil de calcular ya que: </span></div>
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">
</span>
<br />
<div>
<ul>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Hay 6 formas de elegir dos equipos españoles de entre los tres que hay (puedo elegir cualquier de los 3, luego cualquiera de los 2 que queda y usamos la regla del producto)</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Hay cuatro bloques donde elegir para ubicar a cualquiera de los 6 posibles emparejamientos de equipos españoles.</span></li>
<li style="text-align: justify;"><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Una vez ocupado un bloque con un emparejamiento de equipos españoles hay que ordenar los 6 equipos restantes y eso se hace de 6!=6.5.4.3.2.1 formas (la regla del producto de nuevo)</span></li>
</ul>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">De nuevo, usando otra vez la regla del producto, tendremos 6.4.6! formas de ordenar los ocho equipos con un emparejamiento de equipos españoles.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Ya podemos terminar calculando la probabilidad de que haya un emparejamiento de equipos españoles en cuartos de final, siendo ésta:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoFHbBKBIS0n4_KmQatgqhU-wX3Se76TOiXo_8-lbA2NDCKymxGp4qmeJWtSJkVbdAe4apckO4d86-hyzdLNyJtVpIneSZxSnQV2FvzMe3zdPXhlD0cMABo_dFDolFBfolNoifAJ8itiVp/s1600/probabilidad.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="57" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgoFHbBKBIS0n4_KmQatgqhU-wX3Se76TOiXo_8-lbA2NDCKymxGp4qmeJWtSJkVbdAe4apckO4d86-hyzdLNyJtVpIneSZxSnQV2FvzMe3zdPXhlD0cMABo_dFDolFBfolNoifAJ8itiVp/s320/probabilidad.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">Lógicamente, la probabilidad de que no haya emparejamiento español sería 4/7, con lo que es un "poco" más probable que no haya emparejamiento de equipos españoles.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">PD: Cuando terminé de resolver el problema ya se había celebrado el sorteo y resultó que sí va a ver emparejamiento de equipos españoles (Barcelona- Atlético de Madrid).</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;"><br /></span></div>
</div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-55681633879353491932015-05-25T16:55:00.001+02:002015-05-25T17:29:19.676+02:00¿Cuánto mide la costa de Andalucía? Introducción y una aplicación práctica de la geometría fractal<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">El pasado 13 de mayo tuvo lugar en el Palacio de Congresos "Adolfo Suárez" de Marbella el VIII Encuentro de Experiencias de Investigación del Alumnado en el Aula, organizado por el Centro del Profesorado Marbella-Coín, en el que varios grupos de alumnos y alumnas de diversos IES de Andalucía expusieron, como si de un congreso se tratase, algunos trabajos de investigación científica que han llevado a cabo durante este curso académico. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXHDSz9H_bPpZ50lUUSyKfMwloQOSb_YBe3btcH26ccjpVf8fj8khE7MqmDaMrVdqTFIzd-4_5t4uDok8xsqyV7AQeB58WOgcmlA6jNk8tKt3VyQpl4JoPJZzXmt7isMjnIlIXZL1p9Hss/s1600/cartel-VIII-Encuentro-pq.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXHDSz9H_bPpZ50lUUSyKfMwloQOSb_YBe3btcH26ccjpVf8fj8khE7MqmDaMrVdqTFIzd-4_5t4uDok8xsqyV7AQeB58WOgcmlA6jNk8tKt3VyQpl4JoPJZzXmt7isMjnIlIXZL1p9Hss/s400/cartel-VIII-Encuentro-pq.jpg" width="282" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">En dicho Encuentro, un grupo de alumnos de 2º de Bachillerato del IES Fuengirola nº 1, <span style="background-color: white; color: #222222; line-height: 18.4799995422363px; text-align: justify;">Álvaro Blanca Hoyos,</span><span style="background-color: white; color: #222222; line-height: 18.4799995422363px; text-align: justify;"> Abdeslam Bounaaja, Juan Manuel del Valle Blanco y María Díaz Expósito, </span>defendieron y expusieron un trabajo que consistía en una aplicación práctica de la geometría fractal. </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLDlPUcUNwK76Aa9VGaC55f_5f9Vl0n2Je4q4Tsg9JR5dLbSDJO0ox3FSqCLDDU4sHOp1rCBZDCuKlBEycIu1v9p1rJ2g-vE2jBUT_EXepFNJEKoFcX_AdUo71923PQR0lJV0lp74_HyRu/s1600/VIIIEEIA.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLDlPUcUNwK76Aa9VGaC55f_5f9Vl0n2Je4q4Tsg9JR5dLbSDJO0ox3FSqCLDDU4sHOp1rCBZDCuKlBEycIu1v9p1rJ2g-vE2jBUT_EXepFNJEKoFcX_AdUo71923PQR0lJV0lp74_HyRu/s640/VIIIEEIA.jpg" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="background-color: white; color: #222222; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; line-height: 12.6000003814697px;"><span style="font-size: x-small;">De izquierda a derecha: Abdeslam, Juan Manuel, Álvaro, María y Nicolás (profesor-coordinador)</span></span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="font_7" style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border: 0px; color: #181717; font-size: 16px; font-stretch: normal; outline: 0px; padding: 0px; text-align: justify; vertical-align: baseline;">
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border-image-outset: initial; border-image-repeat: initial; border-image-slice: initial; border-image-source: initial; border-image-width: initial; border: 0px; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">El problema de investigación surgió a la hora de intentar responder a la siguiente pregunta: ¿cuál es la longitud del litoral andaluz?</span><br />
<br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
<span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border-image-outset: initial; border-image-repeat: initial; border-image-slice: initial; border-image-source: initial; border-image-width: initial; border: 0px; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">Se obtuvieron diversas respuestas: 945 km , 1101 km, 800 km y 910 km, obtenidas de diversos organismos o instituciones "oficiales" como el Instituto Nacional de Estadística, la Junta de Andalucía (a través de la Consejería de Medio Ambiente que toma como fuente de información el Instituto de Estadística y Cartografía de Andalucía) y el Instituto Geográfico Nacional.</span></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border-image-outset: initial; border-image-repeat: initial; border-image-slice: initial; border-image-source: initial; border-image-width: initial; border: 0px; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><br /></span>
<span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border-image-outset: initial; border-image-repeat: initial; border-image-slice: initial; border-image-source: initial; border-image-width: initial; border: 0px; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">Esta diferencia fue lo que nos llevó a preguntarnos porqué ocurría eso, añadiendo el hecho de que en ninguna se ofrecía explicación alguna de cómo se había obtenido dicha longitud.</span></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border-image-outset: initial; border-image-repeat: initial; border-image-slice: initial; border-image-source: initial; border-image-width: initial; border: 0px; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><br /></span></span>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border-image-outset: initial; border-image-repeat: initial; border-image-slice: initial; border-image-source: initial; border-image-width: initial; border: 0px; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">Nuestro trabajo de investigación iba a centrarse en intentar dar respuesta a la pregunta principal, analizando el porqué de la disparidad de datos obtenidos y, por último, dar una respuesta razonada, basándonos en teorías e investigaciones previas y usando métodos adecuados para ello (método de Richardson y método <i>box-counting</i>), introduciendo para ello la geometría fractal como geometría válida para interpretar y analizar objetos de la naturaleza, en detrimento de la geometría clásica euclidiana que resultaba insuficiente para responder a nuestra pregunta.</span></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border-image-outset: initial; border-image-repeat: initial; border-image-slice: initial; border-image-source: initial; border-image-width: initial; border: 0px; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;"><br /></span></span>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="background-attachment: initial; background-clip: initial; background-image: initial; background-origin: initial; background-position: initial; background-repeat: initial; background-size: initial; border-image-outset: initial; border-image-repeat: initial; border-image-slice: initial; border-image-source: initial; border-image-width: initial; border: 0px; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin: 0px; outline: 0px; padding: 0px; vertical-align: baseline;">El resultado de este trabajo se plasmó en un póster (pincha en él para ampliar):</span></span><br />
<br /></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://drive.google.com/file/d/0B_l9YxsaxztReXJRNVQtXzNWNHc/view?usp=sharing" target="_blank"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKFqOzUwgt2KsB6Y-gBHL-8R4QQ2lXPez0IIma_Q0vBcVbzdKudiz6Wv2vTOhEaPejF-WpSX7tewkMnGXZVxEJNsZgmUuhXhGMVKClrVIvRB3430MmFoyxOOYffdf7N9aUXwYDfxD5Q8gu/s640/Poster-i-fractal_v5.png" width="452" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8JvXInwkFDiFb5NqoFylJBrS1VCyGMLCt0kWaTgYi9w_VScVNhGrzW3s3d1wFilfp5hlcem-2BVXe3_Ps5fN1xGPhRa9VmU0T0RzFomOkt4HxJQWOU2iebojbHVNQKN8PjYiS_a2rEq4X/s1600/IMG_20150513_180308.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg8JvXInwkFDiFb5NqoFylJBrS1VCyGMLCt0kWaTgYi9w_VScVNhGrzW3s3d1wFilfp5hlcem-2BVXe3_Ps5fN1xGPhRa9VmU0T0RzFomOkt4HxJQWOU2iebojbHVNQKN8PjYiS_a2rEq4X/s640/IMG_20150513_180308.jpg" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: small;">En plena exposición y defensa del proyecto</span></td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Al final elaboramos una página web con una información muy detallada del proyecto.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Enlace: <a href="http://fractaliesf1.wix.com/costa-andalucia"><span style="color: blue;">http://fractaliesf1.wix.com/costa-andalucia</span></a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Por último, comentar que la experiencia fue muy agradable y única. Tuvimos la oportunidad de poder comunicar nuestra investigación, así como intercambiar experiencias y conocer el trabajo realizado por otros compañeros de diversos centros educativos.</span><br />
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="background-color: white; color: #222222; font-size: 16px; line-height: 18.3999996185303px;"><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><br /></span></span></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-30692568489152246682015-03-16T16:09:00.000+01:002015-03-16T16:10:06.599+01:00¿√4=±2?<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">En más de una ocasión he escuchado o leído de un alumno que, por ejemplo, √4=±2. Yo suelo entonces preguntarle qué observa en un número, al escribirlo o nombrarlo, cuando éste es negativo (menor que 0). La respuesta es que aparece un "menos" delante, es decir, que por ejemplo -3 (leído "menos tres") es un número negativo porque lleva el signo "-" delante del 3. También les suelo preguntar si √2 es un número negativo o positivo (mayor que 0). Inmediatamente se dan cuenta de que √4 es un número positivo y, aunque no lo suelen decir, entran en <i>shock</i> cuando previamente vuelven a pensar en lo que respondieron anteriormente. Recuerdo, cuando estudiaba el primer año de carrera, que fue a un profesor cuando por primera vez le vi escribir en la pizarra que:</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcJ_due2wVlZ558bFx-yTvEqnOZVnbuKUfxhb7TnF5NGkW_dmg6uOiWCBFwzj7lH14aYD21XIWKWI-6YcF9v_o8QTKNsVxnNuzDwO8mAMusvVTipbYrYe7yri046CdzNa-ijf5EC53bpXO/s1600/x.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgcJ_due2wVlZ558bFx-yTvEqnOZVnbuKUfxhb7TnF5NGkW_dmg6uOiWCBFwzj7lH14aYD21XIWKWI-6YcF9v_o8QTKNsVxnNuzDwO8mAMusvVTipbYrYe7yri046CdzNa-ijf5EC53bpXO/s1600/x.png" /></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Nada más simple, y al mismo tiempo más claro. Ahora, sin lugar a dudas, se resuelven todas las posibles casuísticas que se presenten. A saber, y a modo de ejemplo:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJFmVxOzfvWEHMDK38Q61PlF4AXQdXKDyVvwU3IH56Cy2WQmBcus_yemFiHK1JdzREIGuAOE9zICgEABXmHpLe6HaPurByEgGAAUyNGNeiaznAlp8b04qoq18XJuw04z2e7ylfP0eMdbJs/s1600/y.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjJFmVxOzfvWEHMDK38Q61PlF4AXQdXKDyVvwU3IH56Cy2WQmBcus_yemFiHK1JdzREIGuAOE9zICgEABXmHpLe6HaPurByEgGAAUyNGNeiaznAlp8b04qoq18XJuw04z2e7ylfP0eMdbJs/s1600/y.png" /></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Evitando los errores como: </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgti03pk_R8ItyfgA4Wf2eE4ShjcRqgIVpfl4-sS6_qH6KEFz9sBiJYxCoMM0St89y_Z5wMn3Zn72lF1491RDSioZhkTJs_qkBymwBnrp0BEfkX613a7i5I9u80Eby3rqOtHvp2SZap9Maz/s1600/z.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgti03pk_R8ItyfgA4Wf2eE4ShjcRqgIVpfl4-sS6_qH6KEFz9sBiJYxCoMM0St89y_Z5wMn3Zn72lF1491RDSioZhkTJs_qkBymwBnrp0BEfkX613a7i5I9u80Eby3rqOtHvp2SZap9Maz/s1600/z.png" /></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">O bien:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJcEw3g_hzjgzsM9NlTEsFb3NHSdbVENpypj1wCsuOooB6k9H1LQihe6QDvkdk7M2SBIli9uGfggurh6JmmZBBz8fg4CrIb9kG5-7uBOkKeiRDUDJgvB8-GU00dBZtgw_YENKDr7kkkIWi/s1600/t.PNG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJcEw3g_hzjgzsM9NlTEsFb3NHSdbVENpypj1wCsuOooB6k9H1LQihe6QDvkdk7M2SBIli9uGfggurh6JmmZBBz8fg4CrIb9kG5-7uBOkKeiRDUDJgvB8-GU00dBZtgw_YENKDr7kkkIWi/s1600/t.PNG" /></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aludiendo a la archiconocida frase "<i>el cuadrado con la raíz se va</i>".</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Yo me pregunté, hace tiempo, el por qué de este error tan común. Creo que la explicación puede ser doble: </span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1) Por un lado, la tendencia memorística del alumnado a la hora de llevar a cabo un procedimeinto pero sin esa "alerta permanente" que les permita estar atentos a si tiene o no sentido lo que van haciendo y obteniendo.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">2) Por otro lado, el uso de la técnica de la "comparación" pero sin extrapolar el contexto o el significado de lo que se está haciendo en cada caso. Me explico: no es raro que cuando resuelven alguna ecuación les aparezca, por ejemplo:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsgNaxHK_XeuDxSxjwkwHU4gGkxjVygYI29MqFqXaKT2purm4Iy3fIbyih9bYoMYkTWcoqYdRZzK54Y6ZFtxOsyDJxFy4jrf_PHbyphTGwMvIQLMkBc-q5qHcQ5JYYr5JJBj6Vfi7BbMf8/s1600/x.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjsgNaxHK_XeuDxSxjwkwHU4gGkxjVygYI29MqFqXaKT2purm4Iy3fIbyih9bYoMYkTWcoqYdRZzK54Y6ZFtxOsyDJxFy4jrf_PHbyphTGwMvIQLMkBc-q5qHcQ5JYYr5JJBj6Vfi7BbMf8/s1600/x.png" /></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">A partir de la cual, escriben inmediatamente:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKfm_anZ21hhniifuIhQh33XrZiak4WSCkBXKmxEa6z3HbNFXlp2gpX0ZnzKrq0asMbNsT_WoI2YbbYxh7wu3tQIEOsP9TvdOzI_GiQUujhWgwtfX6c3MH1_ynWBPsF0nMPB0uU8pjd8zJ/s1600/y.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKfm_anZ21hhniifuIhQh33XrZiak4WSCkBXKmxEa6z3HbNFXlp2gpX0ZnzKrq0asMbNsT_WoI2YbbYxh7wu3tQIEOsP9TvdOzI_GiQUujhWgwtfX6c3MH1_ynWBPsF0nMPB0uU8pjd8zJ/s1600/y.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Ciertamente, es correcto que hay dos soluciones pero NO porque </span><span style="line-height: 115%;">√25=±5</span><span style="font-size: 18pt; line-height: 115%;"> </span><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">sino porque si <b>x=5</b> cumple la ecuación, entonces <b>x=-5</b> también ya que </span></span><span style="line-height: 115%;">(-5)²=25</span><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">. Por eso prefiero, llegado a la expresión </span></span><span style="line-height: 115%;">x²=25<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">, continuar </span></span><span style="line-height: 115%;">x=√25=5</span><span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> y, a continuación, razonar la otra posibilidad como antes se ha hecho.</span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="line-height: 115%;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 18.0pt; line-height: 115%; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-no-proof: yes;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<span style="font-size: 18.0pt; line-height: 115%; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-no-proof: yes;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<i><span style="font-family: "Cambria Math","serif"; font-size: 18.0pt; line-height: 115%; mso-omath-para: yes;"><o:p></o:p></span></i></div>
<div class="MsoNormal">
<i><span style="font-family: "Cambria Math","serif"; font-size: 18.0pt; line-height: 115%; mso-omath-para: yes;"><o:p></o:p></span></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
</div>
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal">
<o:p></o:p></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-66347757310976128002014-05-26T10:55:00.001+02:002014-06-10T00:57:25.246+02:00Investigando en 1º de Bachillerato: "El inconmensurable π y el método de «exhaución»"<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aunque un poco precipitadamente, dada la premura de tiempo, un grupo de alumnos de 1º de Bachillerato, </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Álvaro Blanca,</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> Abdeslam Bounaaja, Juan Manuel del Valle y María Díaz, tuvieron la oportunidad de poder realizar una investigación en Matemáticas. Los objetivos eran simples: por un lado, y con la excusa de un proyecto de investigación, observar la conexión entre diferentes contenidos trabajados durante este curso académico (álgebra, número complejos, trigonometría, geometría y análisis; por otro lado, el poder participar en el </span><b style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">VII Encuentro de Experiencias de Investigación del Alumnado en el Aula.</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><b><br /></b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvRjvSOlG4oxwO9CTK7m6orNi5_YRq90eiI7zZYwH0g6CU6SzJCNIP9A6QWXARqyY3bHiHx1Dx0JV7xCl8c7sk-c03kbwow_KE8OjFtChysCIg7s1RjxXkWhhxgQRiARD7-oJxjg2pQEzU/s1600/cartelVIIEEIAA.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgvRjvSOlG4oxwO9CTK7m6orNi5_YRq90eiI7zZYwH0g6CU6SzJCNIP9A6QWXARqyY3bHiHx1Dx0JV7xCl8c7sk-c03kbwow_KE8OjFtChysCIg7s1RjxXkWhhxgQRiARD7-oJxjg2pQEzU/s1600/cartelVIIEEIAA.jpg" height="320" width="226" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">En este Encuentro, los alumnos han tenido la oportunidad de no sólo exponer su trabajo sino también de conocer las investigaciones de otros compañeros y compañeras de diversos centros de Andalucía. La verdad es que ha sido toda una experiencia.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixbP7BRTGiGDg9LxaqzTZ7dTa2JG8WNIz8qFtcb6qvTp9z3t428tCnt5EUchjRLhJMOs6o80ef6_AkoYdcPAChOkAOexiwt1hkdnz2YJRx4BkcV_9PSF2PMlRF_s98_4AurUzijpo7A7GA/s1600/100_3290_web_v3_680x460.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img alt="" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEixbP7BRTGiGDg9LxaqzTZ7dTa2JG8WNIz8qFtcb6qvTp9z3t428tCnt5EUchjRLhJMOs6o80ef6_AkoYdcPAChOkAOexiwt1hkdnz2YJRx4BkcV_9PSF2PMlRF_s98_4AurUzijpo7A7GA/s1600/100_3290_web_v3_680x460.jpg" height="364" title="" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><br /></td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: xx-small;">De izquierda a derecha: María, Nicolás (profesor-coordinador), Álvaro, Juan Manuel y Abdeslam</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">El tema de la investigación partió del descubrimiento de los números irracionales (inconmensurables) por parte de los "Pitagóricos" allá por el s. V. a. C. Esto supuso una auténtica "crisis" en la época ya que por aquel entonces se creía que toda magnitud era finita y se podía expresar mediante una razón o proporción entre números enteros.</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Durante
el s. IV a. C., </span><b style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 115%;">Eudoxo de Cnido, </b><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 115%;">un destacado miembro de la Academia de Platón, dio una
solución aceptable a la crisis ideando </span><i style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 115%;">“La
teoría de las proporciones”</i><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 115%;"> y el llamado </span><i style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 115%;">método de “exhaución”</i><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 115%;">. La idea principal surge de que </span><i style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 115%;">"toda magnitud finita puede ser agotada
mediante la substracción de una cantidad determinada"</i><span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 115%;">.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Si
queremos conocer la longitud de una circunferencia, o el área de un círculo,
podemos aproximarnos “tanto como queramos” a dichas magnitudes a partir de
polígonos regulares inscritos, o circunscritos, a la circunferencia.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Arquímedes
de Siracusa (s. III a.C.), usando la idea de Eudoxo y la ya conocida obra de
Euclides, “<i>Elementos de Geometría</i>”,
consiguió una aproximación del número </span><!--[if gte msEquation 12]><m:oMath><i
style='mso-bidi-font-style:normal'><span style='font-size:12.0pt;line-height:
115%;font-family:"Cambria Math","serif";mso-bidi-font-family:Arial'><m:r>π</m:r></span></i></m:oMath><![endif]--><!--[if !msEquation]--><span style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: 11.0pt; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin; mso-hansi-theme-font: minor-latin; mso-text-raise: -5.5pt; position: relative; top: 5.5pt;"><v:shapetype coordsize="21600,21600" filled="f" id="_x0000_t75" o:preferrelative="t" o:spt="75" path="m@4@5l@4@11@9@11@9@5xe" stroked="f">
<v:stroke joinstyle="miter">
<v:formulas>
<v:f eqn="if lineDrawn pixelLineWidth 0">
<v:f eqn="sum @0 1 0">
<v:f eqn="sum 0 0 @1">
<v:f eqn="prod @2 1 2">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="prod @3 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @0 0 1">
<v:f eqn="prod @6 1 2">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelWidth">
<v:f eqn="sum @8 21600 0">
<v:f eqn="prod @7 21600 pixelHeight">
<v:f eqn="sum @10 21600 0">
</v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:f></v:formulas>
<v:path gradientshapeok="t" o:connecttype="rect" o:extrusionok="f">
<o:lock aspectratio="t" v:ext="edit">
</o:lock></v:path></v:stroke></v:shapetype><v:shape id="_x0000_i1025" style="height: 16.5pt; width: 7.5pt;" type="#_x0000_t75">
<v:imagedata chromakey="white" o:title="" src="file:///C:\Users\Nico\AppData\Local\Temp\msohtmlclip1\01\clip_image001.png">
</v:imagedata></v:shape></span><!--[endif]--><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;"> muy aceptable. Estamos hablando de una época donde
no se conocía el Álgebra y se carecía de
una notación adecuada como la que actualmente existe y usamos con naturalidad.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;">
<span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">Dicho método de aproximación se puede
considerar el germen del concepto de “límite”, lo que posteriormente sería el
cálculo infinitesimal [del que tanto </span><span class="st"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Isaac
</span></span><em><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Newton</span></em><span class="st"><i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">
</span></i></span><span class="st"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">(1642-1727) como Gottfried W. </span></span><em><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">Leibniz</span></em><span class="st"><i><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"> </span></i></span><span class="st"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;">(1646-1716)
son considerados los creadores]. Más adelante permitió el desarrollo del
cálculo integral que, entre otras aplicaciones, permite el cálculo de áreas de
figuras planas y la longitud de una curva.<o:p></o:p></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;">
<span class="st"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;">
<span class="st"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin;">El presente trabajo de
investigación pretende, partiendo de la idea de Eudoxo y su método de “exhaución”,
conseguir el valor exacto del área del círculo y la longitud de una
circunferencia usado la notación, contenidos y procedimientos actuales, en
particular el paso al “límite” de la sucesión de los perímetros o áreas de
polígonos regulares cuando aumenta el número de lados de forma indefinida.</span><span style="font-family: "Times New Roman","serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin;"> </span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;">
<span class="st"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;">
<span class="st"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin;">El resultado de este trabajo se plasmó en un póster:</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;">
<span class="st"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin;"><br /></span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<img alt=" Póster investigación" border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgV09g7pCZPyLGp_R7AJIOZQiezQYtKoHUZAVBRbnnUSVS23au-h5GR068hsmDsqv6pE60vlw4-RqndbdnwlbpbR7k2ACFIn76EWcs6xWy7xzgqh3YQETCA3YDTNickRWnREoNFILFUDsGE/s1600/el+inconmensurable_iesf1_v4_v2.jpg" height="640" width="451" /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Se puede ver el póster en el siguiente enlace: <a href="https://drive.google.com/file/d/0B_l9YxsaxztRSVVOWklGVkFJWG8/edit?usp=sharing">Póster de la investigación</a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Se creó una página web con una información más detallada del proyecto.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Enlace: <u><a href="http://eudoxo-iesf1.wikispaces.com/">http://eudoxo-iesf1.wikispaces.com/</a></u></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: .0001pt; margin-bottom: 0cm; text-align: justify;">
<span class="st"><span style="font-family: "Arial","sans-serif"; font-size: 12.0pt; line-height: 115%; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin;"><br /></span></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-84269883452916161142014-01-30T17:44:00.000+01:002014-01-30T17:46:55.233+01:00La fórmula de Herón y un par de retos trigonométricos<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Hemos estado trabajando la trigonometría y, aunque no la hemos trabajado en clase, es curiosa una relación entre los lados de cualquier triángulo y su área conocida como la <b>fórmula de Herón.</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Sería interesante que analizaseis su origen, demostración y utilidad (al final de la entrada proporciono un enlace) Para que podáis ver diversas situaciones donde se puede aplicar, os propongo un par de retos.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><b>Reto 1</b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>Supongamos una parcela
cuyas medidas vienen representadas en el siguiente plano hecho a escala:</i></span><o:p></o:p></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuyQfgabjBNAxBYjiMX8toj1OM2GTCnTHiGjXMWofw6SebY89J3wyKt_XRf7ZBqOSka-OkH_wcRiIatYZrhixPn5hNogmMTV4lzMqmrZTlc0JP4BuD7pZk_8YdOk3rmmWh97bnKoDyry03/s1600/Captura.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiuyQfgabjBNAxBYjiMX8toj1OM2GTCnTHiGjXMWofw6SebY89J3wyKt_XRf7ZBqOSka-OkH_wcRiIatYZrhixPn5hNogmMTV4lzMqmrZTlc0JP4BuD7pZk_8YdOk3rmmWh97bnKoDyry03/s1600/Captura.JPG" height="186" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><i>¿Podrías calcular la superficie de la parcela?</i></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><b>Reto 2</b></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Éste es un problema procedente de italia (siglo XV)</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span id="docs-internal-guid-49f84e15-e3f7-86d8-4299-e696e47547c5"></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 115%;"><i>Un círculo con un diámetro de 4 unidades está inscrito en un triángulo.
Un punto de tangencia del círculo con el lado del triángulo divide este lado en
longitudes de 6 y 8 unidades. ¿Cuáles son las longitudes de los otros dos lados
del triángulo?</i></span><span style="font-size: 12.0pt; line-height: 115%;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif; font-size: 12pt; line-height: 115%;"><i><br /></i></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif;"><span style="line-height: 18.399999618530273px;">Como podéis imaginar, los dos problemas se podrían resolver de distintas formas. En cualquier caso es recomendable que te ayudes de un dibujo que ilustre la situación.</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif;"><span style="line-height: 18.399999618530273px;"><br /></span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, sans-serif;"><span style="line-height: 18.399999618530273px;">Enlace: <a href="http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Her%C3%B3n">Fórmula de Herón</a> (Wikipedia)</span></span></div>
<div dir="ltr" style="line-height: 1.15; margin-bottom: 0pt; margin-top: 0pt; text-align: justify;">
<br /></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-77445992443348618722014-01-30T16:26:00.000+01:002015-01-07T16:34:17.305+01:00Derivada e integral de una función<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><b><span style="background-color: white; line-height: 115%;"><a href="http://www.wolframalpha.com/">WolframAlpha</a></span></b><span style="background-color: white; line-height: 115%;"> es un "</span><span style="line-height: 115%;">buscador de respuestas" y entre sus usos principales está el
que te permite obtener respuesta estructurada a determinadas cuestiones
relacionadas con las Matemáticas. Por ejemplo, y dentro del tema que nos ocupa,
podemos usarlo para calcular la función derivada o la primitiva (integral
indefinida) de una función.</span></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;"><br /></span>
<script id="WolframAlphaScriptbfced9f0ec6df9357808e1240ab80b1d" src="http://www.wolframalpha.com/widget/widget.jsp?id=bfced9f0ec6df9357808e1240ab80b1d" type="text/javascript"></script>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Elegimos la opción "Derivar" o "Integrar" y, a continuación, introducimos la expresión analítica de la función. Hay que tener en cuenta determinados detalles, por ejemplo, para expresar una potencia escribimos "^", para expresar el logaritmo neperiano "log" y "sin(x)" para el senx.</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Otros caracteres especiales:</span><br />
<br />
<span style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; line-height: 18.479999542236328px; text-align: start;"><b>* </b> multiplicación</span><br />
<span style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; line-height: 18.479999542236328px; text-align: start;"><b>/ </b>división</span><br />
<span style="background-color: white; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; line-height: 18.479999542236328px; text-align: start;"><b>^ </b>potencia</span><br />
<div style="background-color: white; color: #222222; direction: ltr; line-height: 18.479999542236328px; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 6.24pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed; vertical-align: baseline;">
<span style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-weight: bold; text-indent: -0.3in;">exp</span><span style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-indent: -0.3in;"><b>( ) </b>para expresar el número "e" elevado a lo hay entre paréntesis</span></div>
<div style="background-color: white; color: #222222; direction: ltr; line-height: 18.479999542236328px; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 6.24pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed; vertical-align: baseline;">
<span style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-weight: bold; text-indent: -0.3in;">sqrt</span><span style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-indent: -0.3in;"><b>( ) </b>para expresar la raíz cuadrada de lo que hay entere paréntesis</span></div>
<div style="background-color: white; color: #222222; direction: ltr; line-height: 18.479999542236328px; margin-bottom: 0pt; margin-left: 0.3in; margin-top: 6.24pt; text-align: left; text-indent: -0.3in; unicode-bidi: embed; vertical-align: baseline;">
<span style="color: black; font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-indent: -0.3in;"><b>log(x) </b>representa el logaritmo neperiano de x</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Como ejemplo, elegimos la opción "Integrar" e introduzco la expresión "2x-4", la respuesta que nos proporciona es:</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSGXnYzCcnhZEohWcgjrwGcE_lrZ3fTLGlmeG7xmTUwknr48ckX7T45cyckgr87JHQqhPWZxKVizepaG5lMu6wNRN8LuIeWV5apIgOVPCLD1Dby7IRiEC3blEQxre5HwmhZbfNWCFJR4xx/s1600/x.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgSGXnYzCcnhZEohWcgjrwGcE_lrZ3fTLGlmeG7xmTUwknr48ckX7T45cyckgr87JHQqhPWZxKVizepaG5lMu6wNRN8LuIeWV5apIgOVPCLD1Dby7IRiEC3blEQxre5HwmhZbfNWCFJR4xx/s1600/x.JPG" height="640" width="576" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Como se puede observar, obtenemos por un lado la función primitiva pero sin simplificar. El resultado simplificado es:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJpiIBiFd4cMQCU1p-owIAbmnMyUWZaqJDmtZvSVYiJhXp9CAsFpKIe_tmgO11-tqQf-FeoVctoeg7K0jhUYFOQiD7p_c1Sly2Cfpu6NQwh-9o8Sr2tQWfG3RiW8p5CXwgGNpsyxCx67nu/s1600/x.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJpiIBiFd4cMQCU1p-owIAbmnMyUWZaqJDmtZvSVYiJhXp9CAsFpKIe_tmgO11-tqQf-FeoVctoeg7K0jhUYFOQiD7p_c1Sly2Cfpu6NQwh-9o8Sr2tQWfG3RiW8p5CXwgGNpsyxCx67nu/s1600/x.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Por otro lado, también nos proporciona la gráfica de la función primitiva, en este caso una función cuadrática, con dos escalas distintas (en este caso, es evidente que nos resulta mejor la primera gráfica).</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Resulta interesante esta herramienta.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Para más información:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><a href="http://wolframalpha0.blogspot.com.es/">Wolfram Alpha en español</a></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-81599880275653193442014-01-12T13:39:00.001+01:002021-02-14T13:24:19.075+01:00Transformación de una función<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Un aspecto importante en el estudio de funciones es la representación gráfica de la misma. Comenzamos estudiando las llamadas "funciones elementales" (que las clasificamos por "familias", así estudiamos las funciones polinómicas, racionales, radicales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc., siendo las más sencilla de todas la función constante)</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">También hemos hablado de la función más "artificial" de todas, la <b>función a trozos,</b> que no es más que una función construida a partir de cualquiera de las anteriores pero definida en diversos intervalos) </span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Las funciones elementales nos va a permitir conocer, con posterioridad, otro tipo de funciones más "difíciles" pero que tienen similares características que las "elementales".</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">En muchas ocasiones, si conocemos la gráfica de alguna función podemos obtener fácilmente la gráfica de otra, de la misma familia, pero donde observamos ligeras modificaciones. Concretamente, si conocemos la gráfica de una función y=f(x), podemos obtener fácilmente la gráfica de las siguientes funciones (k es una constante cualquiera):</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif" style="font-size: large;"><b>f(x±k), f(x)±k, f(-x), -f(x)</b></span></div>
<div style="text-align: center;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif" style="font-size: large;"><b><br /></b></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Por ejemplo, conocemos la gráfica de la función:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDz7tDWsUTLtH6o3uRDapsrQbxpHY637_sM-C8lUVHtsEOlT2oRYPjgXhYx058UwTM4RKInwiEzen6M33EJZNhxQKLkH2PDFgUKDeB-ibzAWsYqdT68iI4iIus2MoAnyZI7ScI2Mg6ySG6/s1600/x.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgDz7tDWsUTLtH6o3uRDapsrQbxpHY637_sM-C8lUVHtsEOlT2oRYPjgXhYx058UwTM4RKInwiEzen6M33EJZNhxQKLkH2PDFgUKDeB-ibzAWsYqdT68iI4iIus2MoAnyZI7ScI2Mg6ySG6/s1600/x.png" /></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">A partir de ella podremos representar fácilmente la gráfica de las funciones:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWA-gfqekFGflvJCzFI8N-50_3P8BbsEUKho3899bzecrLxB0R2rWlyoi-2yPet4GwWTD3vCoF11Yho6NQLEcY8RaBoxm4X1-RVrIoiQ5yMxGzks3QbSx_xwSQEadzt_skqxL3Fylgovv_/s1600/x.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="32" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWA-gfqekFGflvJCzFI8N-50_3P8BbsEUKho3899bzecrLxB0R2rWlyoi-2yPet4GwWTD3vCoF11Yho6NQLEcY8RaBoxm4X1-RVrIoiQ5yMxGzks3QbSx_xwSQEadzt_skqxL3Fylgovv_/s1600/x.png" width="640" /></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Las dos primeras transformaciones suponen una traslación horizontal y vertical, respectivamente, de la función original.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Las dos últimas transformaciones representan la gráfica simétrica de nuestra función original respecto al eje Y y eje X respectivamente.</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Ni que decir tiene que podemos realizar combinaciones de las distintas transformaciones, como por ejemplo, realizar una traslación horizontal a la derecha de 3 unidades y luego una simetría respecto el eje X, obteniendo entonces la función:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj97p6zgeW6R2DiqRGOULDpk6ZrOvGg359XD0nE3Nj0yLuNotKsG38GcKU0FdBXgWiyP0pfJ-ykaBWkXh1rcPv1pqP5czM4DzeP8JVw8RSMcKPJ4wMB7Qg3hWLjcNv-9kL0b8cDNzWgo51n/s1600/x.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj97p6zgeW6R2DiqRGOULDpk6ZrOvGg359XD0nE3Nj0yLuNotKsG38GcKU0FdBXgWiyP0pfJ-ykaBWkXh1rcPv1pqP5czM4DzeP8JVw8RSMcKPJ4wMB7Qg3hWLjcNv-9kL0b8cDNzWgo51n/s1600/x.png" /></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Y cuya representación gráfica sería:</span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHJmiLyYwp3q-4mslnK73pTzgUbOIiy28PyWzNz5iZvHRoY8DVifgsmWDhVwNfU6wZLlkcKqXOwySUdF-KvbcUn7bpqAHQWDfboCFnLAxHWRPwixo_ba8qq2GcGuh4Atbx8dbHtyCwnvf1/s1600/x.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHJmiLyYwp3q-4mslnK73pTzgUbOIiy28PyWzNz5iZvHRoY8DVifgsmWDhVwNfU6wZLlkcKqXOwySUdF-KvbcUn7bpqAHQWDfboCFnLAxHWRPwixo_ba8qq2GcGuh4Atbx8dbHtyCwnvf1/s1600/x.png" width="442" /></a></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div style="text-align: center;"><br />
<div style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">También podríamos hacer dilataciones y contracciones en la gráfica de una función, para poder entender mejor en qué consisten dichas transformaciones es mejor que uséis el siguiente applet realizado con Geogebra (introduce la función de entrada que quieras y prueba con las distintas transformaciones que aparecen)</span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Enlace a applet de Geogebra: <a href="https://www.geogebra.org/m/CyQjcSME">Transformación de funciones</a> </span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">(necesario que tengas Java instalado en tu ordenador)</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Por último, el siguiente vídeo es muy ilustrativo ya que proporcione múltiples ejemplos:</span><br />
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span>
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif"><br /></span></div>
</div>
<object height="315" width="420"><param name="movie" value="//www.youtube.com/v/SDqcaRicxdM?version=3&hl=es_ES&rel=0" />
<param name="allowFullScreen" value="true" />
<param name="allowscriptaccess" value="always" />
<object height="480" width="640"><param name="movie" value="//www.youtube.com/v/SDqcaRicxdM?version=3&hl=es_ES&rel=0" /><param name="allowFullScreen" value="true" /><param name="allowscriptaccess" value="always" /><embed allowfullscreen="true" allowscriptaccess="always" height="480" src="//www.youtube.com/v/SDqcaRicxdM?version=3&hl=es_ES&rel=0" type="application/x-shockwave-flash" width="640"></embed></object>
</object></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-29919046355274425562013-12-19T19:41:00.000+01:002013-12-19T19:42:04.664+01:00Trigonometría: ¿cuántas razones trigonométricas hay?<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Hoy en clase hemos hablado de otras razones trigonométricas de un ángulo, además de las ya conocidas, seno, coseno y tangente. Como habéis preguntado si existen otras y, además, si se pueden "visualizar" gráficamente, os indico un enlace a una entrada de un magnífico blog, llamado <a href="http://gaussianos.com/">gaussianos.com</a>, donde se responde claramente a ambas preguntas.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">El enlace es: <a href="http://gaussianos.com/cuantas-razones-trignonometricas-existen/">¿Cuántas razones trigonométricas "existen"?</a></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; font-size: x-small;">PD: En el anterior enlace muestra gráficamente, entre otras, la razón trigonométrica de la tangente de un ángulo. Quizás os parezca distinta a la que yo os mostré en clase pero si lo pensáis es exactamente lo mismo.</span></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-51621627745445803302013-11-28T17:56:00.000+01:002013-11-28T18:01:23.607+01:00Derivada de una función: teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Llevamos un tiempo, durante este primer trimestre, estudiando la función derivada de funciones reales y, más concretamente, sus usos y aplicaciones más relevantes: estudio de la monotonía (intervalos de crecimiento-decrecimiento), búsqueda de extremos (máximos-mínimos), estudio de la curvatura (intervalos de concavidad-convexidad), puntos de inflexión, rectas tangentes a la gráfica, problemas de optimización, etc.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">El concepto de derivada de una función en un punto y, por tanto, el hecho de que una función sea derivable en un intervalo, es una propiedad muy potente que nos ha permitido analizar y obtener múltiples características de la misma muy útiles, no sólo porque así conocemos mejor a la función, sino porque dichas informaciones nos permite responder a pregunta cuya respuesta inicial no es evidente.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Hay un par de resultados importantes que no hemos visto en clase y son dignos de mencionar, los teoremas denominados<i> teorema de Rolle</i> y <i>teorema del valor medio o de Lagrange</i>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">En el siguiente enlace podréis acceder a un documento que he elaborado y que habla de ambos, espero que os resulte interesante.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Enlace: <a href="https://drive.google.com/file/d/0B_l9YxsaxztRMGxLcjVVTG5yalk/edit?usp=sharing">Teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange</a>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-64304311401044617412013-11-21T18:14:00.001+01:002013-12-19T19:42:18.092+01:00La lata nos da "la lata"<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">A raíz de un problema de optimización visto en clase, os propuse uno relacionado con las latas de refrescos u de otro tipo de productos (pero que sean cilíndricas). </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Actualmente
podemos encontrar latas con diversas alturas y, en el caso de los refrescos, normalmente suelen tener un
volumen de 33 cl=330 ml.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQUHvdUI3NoLZQyfsNNHAEps6k6ZXuQS7FpsvE46j-KkWZrrWt3L42SiQQjvEsHtCln4OvML4z5u-HLbSS9YrmiP1JVf_g8uUYbt1vAE_KXwJ6KHIowSlh3KUC7Fu7Bi3-s5Ya29ALSk-F/s1600/latas.bmp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgQUHvdUI3NoLZQyfsNNHAEps6k6ZXuQS7FpsvE46j-KkWZrrWt3L42SiQQjvEsHtCln4OvML4z5u-HLbSS9YrmiP1JVf_g8uUYbt1vAE_KXwJ6KHIowSlh3KUC7Fu7Bi3-s5Ya29ALSk-F/s1600/latas.bmp" height="250" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">El reto consiste en determinar qué dimensiones debe tener una lata
cilíndrica (radio de la base y altura) para que, con un volumen constante de 33
cl, la superficie total sea mínima.</span><span style="font-family: Verdana, sans-serif;"><o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Intentad plantearlo y resolverlo, para poder contrastar vuestro trabajo os indico el enlace con el desarrollo que he realizado del mismo.</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Enlace: <a href="https://drive.google.com/file/d/0B_l9YxsaxztRNGgtOHZxNV9Ta1dMWGcwdGMtMEx5R0ROVlJz/edit?usp=sharing"><span style="color: blue;">Resolución del reto (La lata nos da "la lata")</span></a></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3419851371948577869.post-77269927291503500632013-11-15T07:40:00.001+01:002022-06-28T14:25:10.302+02:00Un problema de clase<div style="text-align: justify;">
<span face="Arial, Helvetica, sans-serif">Ayer surgió un "problema" en clase cuyo enunciado es:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif"">Un
automóvil sube las cuestas a 54 Km/h, las baja a 90 Km/h y en llano marcha a 80
Km/h. Para ir de A a B tarda 2 horas y 30 minutos, y para volver de B a A, 2
horas y 38 minutos. ¿Cuál es la longitud del camino llano entre A y B si se
sabe que A y B distan 192 kilómetros?<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span face="Arial, sans-serif">Vamos a comenzar a pensar...</span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
<span face="Arial, sans-serif"><b><br /></b></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif"">Fase 1: Entender el
enunciado<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif"">Vamos
a suponer que primero hay un ascenso, luego un descenso y el trayecto final es
llano. También es necesario suponer que la velocidad, en cada tramo, es
constante (es decir, consideramos que el movimiento es rectilíneo uniforme) <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="margin-bottom: 0.0001pt; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif"">Las
anteriores afirmaciones deberían haber estado en el enunciado, ya que una de
las cualidades que debe tener el enunciado de un problema es que sea claro y
sin ambigüedades.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRf7Bwtv-zOK8VQUUtnjH0gJmzaDitoYHDfo5Q9C9tTyKEx6XlFsMPBnZfRIta_Y6FgNWxLLC9Io8xNmXyVzEoNOBYVX6OVIOVcNhZFks6-jp1dQeAd8sP9_I6ZOgLsiJIW3atff66OPH2/s1600/Captura.PNG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRf7Bwtv-zOK8VQUUtnjH0gJmzaDitoYHDfo5Q9C9tTyKEx6XlFsMPBnZfRIta_Y6FgNWxLLC9Io8xNmXyVzEoNOBYVX6OVIOVcNhZFks6-jp1dQeAd8sP9_I6ZOgLsiJIW3atff66OPH2/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif"">Datos:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif"">Velocidad
en ascenso= 54 km/h<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif"">Velocidad
en descenso= 90 km/h<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif"">Velocidad
en llano= 80 km/h<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif"">Tiempo
en ir desde A hasta B= 2 h 30 m=2,5 horas<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif"">Tiempo
en ir desde B hasta A= 2 h 38 min≈2,63 horas<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif"">Distancia
entre A y B=192 km<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif"">Fase 2: Buscar
relaciones<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgS49DJt7zjN1SjQnm8qo6sayqnPJRFuBHe7VlbHTm3pSQ-mdVOL0KrLH9AQOHmiCta9fM_W7truGKI1orBFJPDplGaZR4bnWqMz74LKhm4Y1sVyBHzjJLeySB_RAAnK27RjJ3W7_zcFJYG/s1600/Captura.PNG" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="214" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgS49DJt7zjN1SjQnm8qo6sayqnPJRFuBHe7VlbHTm3pSQ-mdVOL0KrLH9AQOHmiCta9fM_W7truGKI1orBFJPDplGaZR4bnWqMz74LKhm4Y1sVyBHzjJLeySB_RAAnK27RjJ3W7_zcFJYG/s1600/Captura.PNG" width="640" /></a></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face="Arial, sans-serif">Obtenemos
un sistema de ecuaciones lineales (3 ecuaciones y 3 incógnitas, aunque a
nosotros sólo nos interesa una)</span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face="Arial, sans-serif"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif"">Fase 3: Resolver<o:p></o:p></span></b><br />
<b><span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif"">Si
usamos, entre otros, <i>Wiris</i> (programa
de cálculo matemático) obtenemos:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1iEPhqXV8TmvOaB8f0yh9_5PVJmNMSmFgTNId5G3ebjvKxnnGYzuuT38TWKFyQYVCGSzLfSAS3Bwl7IuKa-817Y77kjOk3Ee-TlAcdX1lJ_WLHNKpu8lA6B9JryNJbi3ugWeqBCNdc7uy/s1600/Captura.PNG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1iEPhqXV8TmvOaB8f0yh9_5PVJmNMSmFgTNId5G3ebjvKxnnGYzuuT38TWKFyQYVCGSzLfSAS3Bwl7IuKa-817Y77kjOk3Ee-TlAcdX1lJ_WLHNKpu8lA6B9JryNJbi3ugWeqBCNdc7uy/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif"">Fase 4: Interpretar</span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif""></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLqkiP2ERYbcDAHCU53Rm3rqwFf8rl1Q1eWtzCYoR-9K7MsO1CpFq0bAKePadmdth71MahsDqgiPI-QZfMho74V5AUnYrW0V8uISUkcQiE0S0Gu-o6EKTEKxgKQUGf9nK5nwy_yJi5HEj8/s1600/Captura.PNG" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLqkiP2ERYbcDAHCU53Rm3rqwFf8rl1Q1eWtzCYoR-9K7MsO1CpFq0bAKePadmdth71MahsDqgiPI-QZfMho74V5AUnYrW0V8uISUkcQiE0S0Gu-o6EKTEKxgKQUGf9nK5nwy_yJi5HEj8/s1600/Captura.PNG" /></a></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif"" style="mso-fareast-font-family: "Times New Roman"; mso-fareast-theme-font: minor-fareast;">(Además
hemos obtenido la longitud de los otros tramos)</span><span face=""Arial","sans-serif""><o:p></o:p></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif"" lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif"" lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;">Enlace a Wiris <i>on line</i> en
Andalucía:<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<b><span face=""Arial","sans-serif"" lang="EN-US" style="mso-ansi-language: EN-US;"><br /></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<cite><span face=""Arial","sans-serif"" style="font-size: 11pt; mso-ansi-language: ES; mso-bidi-language: AR-SA; mso-fareast-font-family: Calibri; mso-fareast-language: EN-US; mso-fareast-theme-font: minor-latin;"><a href="http://www.juntadeandalucia.es/averroes/wiris/es/index.html"><span style="color: blue;"><span style="font-style: normal;">http://www.juntadeandalucia.es/averroes/wiris/es/index.html</span></span></a><span style="font-style: normal;"></span><span id="goog_775279449"></span><span id="goog_775279450"></span></span></cite></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify;">
<span face=""Arial","sans-serif""><br /></span></div>
Nicolás Guillénhttp://www.blogger.com/profile/16211549312349650038noreply@blogger.com0