Esquema general y ejemplo para afrontar un problema de optimización

Los llamados problemas de optimización son aquellos en los que aparecen funciones reales en las cuáles necesitamos localizar sus extremos (máximo o mínimo). En la mayoría de los casos, dichas funciones están contextualizadas, es decir, modelizan una hipotética situación real.

En todo “problema” de este tipo no existe un método perfecto e infalible para resolverlo, lo que sí merece la pena, y mucho, es plantearse previamente una serie de fases como:

Fase 1: ¿Entiendo el enunciado y lo que se pide? 

Algo que no hay que tomarse en vano, el entender qué información te están proporcionando y qué es lo que te están pidiendo es vital. Y ojo, que no estamos diciendo con esto que sí ya sabemos cómo obtener la respuesta. Lo que se pretende es concienciarnos de que es imprescindible, en primer lugar, entender y comprender el texto, los datos y los que nos preguntan.

Fase 2: Una vez que se ha entendido el enunciado y lo que se pide: ¿cómo uso la información qué realmente necesito de forma que pueda plantear el problema en términos que me permitan usar una estrategia, técnica o procedimiento general para llegar a la solución? Esta parte suele ser la más difícil ya que consiste en trasladar una información, proporcionada en un texto y normalmente con datos, a expresiones “manipulables” y “conocidas” que nos permita seguir avanzando en la búsqueda de una posible respuesta. Conseguir esto es lo que se llama realizar el “planteamiento” del problema. En algunos casos, un dibujo o gráfico puede ser muy útil, además de que siempre es importante usar una notación y lenguaje que sea correcto y claro.

¿Qué se quiere optimizar? Es decir, ¿qué tienes que calcular para conseguir el máximo o mínimo valor de quién?

Expresar algebraicamente lo que quieres que alcance su valor máximo o mínimo, ésta será la función para la cual habrá que encontrar el extremo (máximo o mínimo, según lo que se pida). El valor de dicha función (sus imágenes) dependerá de una o más variables. Para encontrar dicha función requiere, a veces, el uso de imágenes o gráficos de apoyo que te ayuden a pensar en cómo conseguir esa expresión algebraica que representa lo que se quiere maximizar o minimizar.

Os recuerdo que estudiamos las funciones reales con una única variable, así que…

Importante preguntarse para qué valores tiene sentido la expresión que se quiere maximizar o minimizar (lo que se denomina optimizar).

Fase 3: Esta parte es muy técnica pero el personal no suele pensar en usar un procedimiento eficiente y simple para obtener posible solución. A veces nos complicamos la vida con procedimientos largos que lo único que consiguen en hacernos perder tiempo y aumentar la probabilidad de cometer un error (o más). Por eso es muy útil, siempre, procurar conocer diversos procedimientos (o caminos) para llegar a una posible solución (o destino); la práctica, posteriormente, te permitirá “intuir” en cada momento cuál es el “camino” más óptima para llegar al “destino”, entiéndase solución.

Fase 4: Concluir de forma coherente una respuesta. A veces nos obcecamos e impacientamos en llegar a una solución-respuesta y, por desgracia, a veces ocurre que esa solución no tiene sentido o habría que matizarla. Es importante por tanto, analizar si la respuesta obtenida es coherente con el enunciado y el contexto del problema (si lo tiene).

Veamos un ejemplo ilustrativo que no es más  que eso, UN ÚNICO ejemplo. La práctica es lo que te permitirá adquirir soltura, confianza e “intuición” para tener más posibilidades de afrontar con éxito este tipo de problemas.

Enunciado:

Un nadador A se encuentra a 3 km de la playa enfrente de una caseta.

Desea ir a un punto B, situado en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y anda por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Desarrollo:

Fase 1:

Entiendo el enunciado y lo que se pide, teniendo en cuenta que cuando dice “Un nadador A se encuentra a 3 km de la playa enfrente de una caseta”, lo que quiere decir es que la dirección de A hacia la playa es perpendicular a la dirección de la misma playa-orilla. Por otro lado, debo entender que las velocidades de nado y de caminar son constantes (no lo dice y, entonces, supongo el caso más simple).

Por último, cuando dice “a qué lugar debe dirigirse a nado”, entiendo que lo lógico es a un lugar de la orilla que se encontrará situado entre la caseta y el punto B.

Fase 2:

En este caso, realizar un dibujo ilustrativo de la situación ayuda bastante (tanto a ti, para pensar en cómo plantear el problema, como para el que lo está leyendo, ya que así puede entender lo que después vas a desarrollar para justificar tu desarrollo y, por tanto, para encontrar la respuesta).