miércoles, 21 de noviembre de 2018

Esquema general y ejemplo para afrontar un problema de optimización

Los llamados problemas de optimización son aquellos en los que aparecen funciones reales en las cuáles necesitamos localizar sus extremos (máximo o mínimo). En la mayoría de los casos, dichas funciones están contextualizadas, es decir, modelizan una hipotética situación real.

En todo “problema” de este tipo no existe un método perfecto e infalible para resolverlo, lo que sí merece la pena, y mucho, es plantearse previamente una serie de fases como:

Fase 1: ¿Entiendo el enunciado y lo que se pide? 

Algo que no hay que tomarse en vano, el entender qué información te están proporcionando y qué es lo que te están pidiendo es vital. Y ojo, que no estamos diciendo con esto que sí ya sabemos cómo obtener la respuesta. Lo que se pretende es concienciarnos de que es imprescindible, en primer lugar, entender y comprender el texto, los datos y los que nos preguntan.

Fase 2: Una vez que se ha entendido el enunciado y lo que se pide: ¿cómo uso la información qué realmente necesito de forma que pueda plantear el problema en términos que me permitan usar una estrategia, técnica o procedimiento general para llegar a la solución? Esta parte suele ser la más difícil ya que consiste en trasladar una información, proporcionada en un texto y normalmente con datos, a expresiones “manipulables” y “conocidas” que nos permita seguir avanzando en la búsqueda de una posible respuesta. Conseguir esto es lo que se llama realizar el “planteamiento” del problema. En algunos casos, un dibujo o gráfico puede ser muy útil, además de que siempre es importante usar una notación y lenguaje que sea correcto y claro.

¿Qué se quiere optimizar? Es decir, ¿qué tienes que calcular para conseguir el máximo o mínimo valor de quién?

Expresar algebraicamente lo que quieres que alcance su valor máximo o mínimo, ésta será la función para la cual habrá que encontrar el extremo (máximo o mínimo, según lo que se pida). El valor de dicha función (sus imágenes) dependerá de una o más variables. Para encontrar dicha función requiere, a veces, el uso de imágenes o gráficos de apoyo que te ayuden a pensar en cómo conseguir esa expresión algebraica que representa lo que se quiere maximizar o minimizar.
Os recuerdo que estudiamos las funciones reales con una única variable, así que…
Importante preguntarse para qué valores tiene sentido la expresión que se quiere maximizar o minimizar (lo que se denomina optimizar).

Fase 3: Esta parte es muy técnica pero el personal no suele pensar en usar un procedimiento eficiente y simple para obtener posible solución. A veces nos complicamos la vida con procedimientos largos que lo único que consiguen en hacernos perder tiempo y aumentar la probabilidad de cometer un error (o más). Por eso es muy útil, siempre, procurar conocer diversos procedimientos (o caminos) para llegar a una posible solución (o destino); la práctica, posteriormente, te permitirá “intuir” en cada momento cuál es el “camino” más óptima para llegar al “destino”, entiéndase solución.

Fase 4: Concluir de forma coherente una respuesta. A veces nos obcecamos e impacientamos en llegar a una solución-respuesta y, por desgracia, a veces ocurre que esa solución no tiene sentido o habría que matizarla. Es importante por tanto, analizar si la respuesta obtenida es coherente con el enunciado y el contexto del problema (si lo tiene).

Veamos un ejemplo ilustrativo que no es más  que eso, UN ÚNICO ejemplo. La práctica es lo que te permitirá adquirir soltura, confianza e “intuición” para tener más posibilidades de afrontar con éxito este tipo de problemas.

Enunciado:
Un nadador A se encuentra a 3 km de la playa enfrente de una caseta.
Desea ir a un punto B, situado en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y anda por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Desarrollo:

Fase 1:

Entiendo el enunciado y lo que se pide, teniendo en cuenta que cuando dice Un nadador A se encuentra a 3 km de la playa enfrente de una caseta”, lo que quiere decir es que la dirección de A hacia la playa es perpendicular a la dirección de la misma playa-orilla. Por otro lado, debo entender que las velocidades de nado y de caminar son constantes (no lo dice y, entonces, supongo el caso más simple).
Por último, cuando dice “a qué lugar debe dirigirse a nado”, entiendo que lo lógico es a un lugar de la orilla que se encontrará situado entre la caseta y el punto B.

Fase 2:

En este caso, realizar un dibujo ilustrativo de la situación ayuda bastante (tanto a ti, para pensar en cómo plantear el problema, como para el que lo está leyendo, ya que así puede entender lo que después vas a desarrollar para justificar tu desarrollo y, por tanto, para encontrar la respuesta).




viernes, 19 de enero de 2018

Integrales trigonométricas: cambio de variable general

Las integrales trigonométricas son particularmente “difíciles” por la casuística que hay que tener en cuenta. Sin entrar en detalles de los cambios de variable, según casos fácilmente detectables, y los “trucos” que algunas veces se utilizan para convertir una integral trigonométrica en otra asequible, existe un cambio general de variable que permite SIEMPRE convertir una integral trigonométrica en una racional. Este cambio sólo se aconseja en casos de desesperación, es decir, cuando se han agotado otras vías o nos es imposible detectar la estrategia a seguir para conseguir resolver la integral de una forma más sencilla.

El cambio de variable es t=tg(x/2), del cual se deduce que:


La justificación de las igualdades anteriores no son evidentes.

En el siguiente enlace se encuentran las explicaciones y el desarrollo completo de algunos ejemplos seleccionados.

lunes, 15 de enero de 2018

Editor de ecuaciones online útil para insertar en un correo electrónico

De todos es conocidos el editor de ecuaciones de Word o, si usamos Open Office o Libre Office, el insertar una ecuación en un documento de texto. A veces tenemos que hacer lo mismo on line. Para ello existen varios editores de ecuaciones online y MathCast es uno de ellos. Se trata de un editor de ecuaciones, concretamente una aplicación que permite introducir, de forma sencilla con un poco de práctica, fórmulas y símbolos matemáticos. Estas expresiones se pueden utilizar en documentos escritos y páginas web. MathCast es una aplicación gratuita y de código abierto.




Uso: A veces escribimos un correo electrónico y nos resulta imposible insertar un símbolo o expresión matemática (a menos que lo hagamos como si fuera una imagen y lo insertemos). Ahora es más cómodo si lo que queremos hacer, por ejemplo, en un correo de Gmail. Si escribimos la expresión en el editor MathCast, después sólo tenemos que dirigirnos a "Direct Link" para copiar la dirección web y, posteriormente, insertar la imagen en el correo usando la opción de pegar la url anterior. Aparecerá la expresión matemática en la ventana donde estáis redactando el correo electrónico y podéis seguir escribiendo, insertando otra y luego enviar el mismo. Aunque no es imprescindible, está la opción de pinchar en "Make short link" para obtener dicho enlace pero más "corto".

sábado, 13 de enero de 2018

Raíces cuadradas sucesivas de un número positivo

Toma una calculadora que permita calcular raíces cuadradas, no hace falta que sea científica. Ahora escribe un número positivo cualquiera y calcula su raíz cuadrada. Al valor obtenido le calculas también su raíz cuadrada...así sucesivamente con el nuevo número obtenido (a este proceso es a lo que llamo "raíces cuadradas sucesivas de un número positivo").
Usando el lenguaje matemático te pido que:


Nota: los puntos suspensivos dentro de la expresión viene a indicar que realizamos la raíz cuadrada sucesiva una cantidad de veces n. Por ejemplo, si realizo n=3 veces sucesivas la raíz cuadrada de 5 lo escribiría así:



Te propongo unas preguntas:

1. Llegará un momento en que observarás algo "curioso" y, seguramente, probarás con otro número positivo para comprobar si ocurre lo mismo. ¿Podrías expresar qué has observado?

Para los que estáis en Bachillerato, lo que realmente os estoy preguntando es si existe, y es finito, el siguiente límite:

(siendo x>0)

2. ¿Cómo es posible que después de calcular una cantidad "finita" de raíces cuadradas sucesivas de un número positivo llega un momento que en la pantalla aparece sólo el 1?

3. ¿El valor al que siempre se llega en la pantalla es exactamente 1 o una aproximación cada vez más cercana por defecto o por exceso?

Espero vuestras respuestas, y ya sabéis, ¡razonadas!