Un problema interesante

 

Mientras estaba procrastinando con el móvil durante estas navidades, me encuentro con una imagen donde aparecen diversos problemas de matemáticas. En particular me llamo la atención éste, cuyo enunciado literal es:

La traducción del enunciado al castellano sería la siguiente:

Encuentra un número entero positivo cuyo primer dígito sea 1 y que cumpla la siguiente propiedad: si se traslada este dígito al final del número, el número resultante es el triple del original.

(Olimpiada Matemática Británica, 1990, P1)

Lo primero que se me vino a la cabeza era comenzar a probar si era posible con un mínimo de dígitos, al menos dos, para ver si era posible y, en ese caso, detectar si había más de una respuesta. Si no era posible, continuar buscando un número con tres dígitos y así sucesivamente.

Número entero positivo de dos dígitos

N escrito como ”1a”, luego N=10+a.

Trasladando el 1 al final, las unidades, obtenemos el número “a1”, es decir 10+a, siendo éste el triple de N, luego se tendría que cumplir que $3N=10a+1\rightarrow3\left(10+a\right)=10a+1\rightarrow29=7a$, que no es posible porque $29\neq\dot{7}$ (que viene a decir que 29 no es un múltiplo de 7, algo que sabemos).

Número entero positivo de tres dígitos

Si $N=”1ab”$, entonces representa el número $N={10}^2+10a+b$.

Trasladando el 1 al final, escribiríamos $“ab1”$, es decir, el número ${10}^2a+10b+1$ que sería el triple de N, luego $3\left({10}^2+10a+b\right)={10}^2a+10b+1\rightarrow299=7(10a+b)$, que tampoco puede ser porque $299\neq\dot{7}$.

Llegados a este punto se comienza a vislumbrar un patrón en el número que buscamos, si el número N tiene n dígitos, tendría que cumplirse que $2\underbrace{99\cdots 9}_{n-1}=\dot{7}
$

También se observa que N se podría expresar como $N={10}^{n-1}+x$, siendo x el número que resulta de suprimir el 1 que es el primer dígito. En los dos casos que vimos al principio, cuando N tiene dos dígitos, $x=a$. Si N tiene tres dígitos, $x=10a+b$. Nótese que entonces se tenía que cumplir que:

29=7x, en el caso de que N tuviese dos dígitos

299=7x, en el caso de que N tuviese tres dígitos

Llegados a este punto, basta con encontrar un número de la forma $29\ldots9$ que sea múltiplo de 7. Con pocas comprobaciones encontramos el 299999=7.42857. De aquí deducimos que 299999=7x, con N seis dígitos (n=6), siendo entonces x=299999/7=42857 y el número entero buscado $N=142857={10}^{n-1}+x={10}^5+42857$ (se puede comprobar fácilmente que 3.142857=428571).

Se podría objetar que estamos haciendo una deducción únicamente a partir de haber observado cierto patrón cuando N tiene dos o tres dígitos, más adelante haremos una demostración más formal y general, suponiendo que el número entero que buscamos, N, tiene n dígitos que desconocemos y que comienza con 1. Pero antes veremos una demostración sorprendentemente ingeniosa y simple: sabemos que nuestro número N, si existe, comienza por 1, pero desconocemos el resto de dígitos y también cuáles serían estos. En el caso de que existiera, tendría que cumplirse la propiedad indicada en el enunciado, es decir, el número “…1” sería el tripe que nuestro número N=”1…”, donde “…” representa el resto de dígitos de N después del 1 inicial. En este caso, si multiplicamos por 3 el número “1…” tendríamos que obtener “…1”. ¡Hagámoslo pues!, es decir, busquemos, más bien deduzcamos, los dígitos que faltan cuando hacemos la multiplicación y sabemos lo que tendría que ocurrir. Voy a mostrar visualmente la multiplicación y el resultado, como nos enseñaron a hacer, para que se observe la idea y cómo se van deduciendo los dígitos del número que estamos buscando:

El recuadro en blanco □ indica las unidades de nuestro número N que comienza por 1. El único número de un dígito que multiplicado por 3 proporciona un 1 en las unidades es el 7, luego ya tenemos las unidades de nuestro número y podemos rellenar el recuadro con él:

Recuérdese ahora que, siendo nuestro número 1…7, al pasar el 1 a las unidades, el número resultante tendrá el 7 como decenas. Nuestra multiplicación entonces sería ésta:

Ahora tocaría encontrar el dígito de las decenas de nuestro número, donde se encuentra el recuadro. Antes de seguir hay que recordar que antes, al multiplicar 3.7 y obtener 21, ubicamos únicamente las unidades, 1, en el resultado final, pero queda en el “limbo” las dos decenas, 20. Esto es importante porque al buscar un dígito, el de las decenas de nuestro número, que multiplicado por 3 nos proporcione un número donde 7 sean las unidades, hay que tener en cuenta que habría que añadirle las 2 decenas que estaban en el limbo y que obtuvimos de la primera operación para obtener las unidades del número resultante.

Dicho lo anterior, es fácil saber que el dígito que buscamos para nuestro recuadro es 5 porque 3.5 serían 15 decenas, más las dos que estaban pendientes, sumarían 17 decenas, con lo cual conseguimos el ansiado 7 de las decenas del resultado de nuestra multiplicación (quedando pendiente después de añadir 10 decenas, es decir, 1 centena para después).

Nuestra multiplicación quedaría entonces así:

Seguramente ya habrán comprendido la idea de este método “a la inversa” en una multiplicación habitual. Siguiendo el mismo razonamiento se pueden ir deduciendo el resto de dígitos de nuestro número entero N, obteniéndose sucesivamente los dígitos 8, 2 y último que sería el 4. 

Se demostraría así la existencia de un número entero N=142857 que cumple la propiedad indicada.

Pasemos ahora a una demostración más formal, más “matemática”, que no deja lugar a dudas de la existencia de un número entero positivo con la condición que se indica y la propiedad que cumple.

Un número N de n dígitos que comienza por 1 se puede expresar como $“1x”$, es decir, $N={10}^{n-1}+x$, siendo x un número con n-1 dígitos y que desconocemos.

Al traspasar el 1 que encuentra al inicio a las unidades del número resultante, éste se puede expresar entonces como $10x+1$ y sería el triple de N, es decir, tendría que cumplirse que:

$3N=3\left({10}^{n-1}+x\right)=10x+1\rightarrow3.{10}^{n-1}-1=7x$      (*)

Que viene a decir que:

$3\cdot 10^{\,n-1}-1 \equiv 0 \pmod{7}$

O lo que es lo mismo: 

$3.{10}^{n-1}\equiv1\ mod(7)$

El inverso (multiplicativo) de 3 en mod(7) es 5 ya que $3.5\equiv1\ mod(7)$, luego:

$5.\ 3.{10}^{n-1}\equiv5.\ 1\ mod(7)\rightarrow{10}^{n-1}\equiv5\ mod(7)$

Basta entonces encontrar $n$ de forma que se cumpla lo anterior. Haciendo algunas comprobaciones, encontramos $n=6$ de forma que ${10}^5\equiv5\ mod(7)$.

De (*) se obtiene que $3.{10}^5-1=7x\rightarrow x=\frac{3.{10}^5-1}{7}=42857$, de donde $N=142857$.

Como curiosidad, comentar que este número 142857 es algo peculiar por varios motivos:

1) Es un número cíclico, en el sentido de que, si multiplicamos dicho número por 1, 2, 3, 4, 5 o 6, se obtiene también un número cuyos dígitos son los mismos que aparecen en 142857 pero en distintos lugares.

2) 142857 es el periodo del número decimal que aparece al realizar la división $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}$.

3) La propiedad 1) da lugar a algún que otro “truco” de magia impresionante (leer el capítulo 10 del libro “Circo Matemático” de Alianza Editorial, Madrid, cuyo autor es el famoso divulgador Martin Gardner)

Matemagia con números

 

Ya inmersos en las vacaciones de Navidad, estaba viendo vídeos con el móvil cuando, de forma inesperada, aparece uno sobre las matemáticas que hay detrás de algunos “trucos” de magia y que me llamó la atención:

Captura de instagram, enlace al vídeo:

https://www.instagram.com/reel/DRznWiskZRS/?igsh=MTU2bGZrZjVuMTlqcw==

En el anterior vídeo, Antonietta Mira, que es una estadística computacional que trabaja en la Università della Svizzera (Lugano, Suiza), presenta un truco numérico basado en una matriz cuadrada, nxn, donde sus elementos son los números naturales consecutivos 1, 2, …, n², ubicados en orden creciente comenzando, de izquierda a derecha, y de arriba hacia abajo, a partir del elemento situado en la primeria fila y primera columna (n sería el número de filas y también de columnas). En la imagen se observa, por ejemplo, el caso n=4 y en la pizarra se ve los elementos de la matriz 4x4 con todos los elementos.

A continuación, se entrega al observador participante tantos colores distintos como filas (o columnas) aparezcan. En el caso del vídeo, 4 colores distintos.

Luego se pide que rodee los elementos de cada una de las filas usando un color diferente en cada ocasión. La elección del color en cada fila se deja al libre albedrío del observador participante. De igual forma se pide que lo haga, pero en cada columna.

Independientemente de la elección del color en cada fila o columna, habrá cuatro “cruces” de fila y columna del mismo color. Se pide al observador participante que rodee con un círculo cada uno de los números que aparecen en esos cruces.

Vamos a analizar lo que ocurre con detalle en un ejemplo similar al del vídeo, n=4 y los n²=16 primeros números naturales positivos:

Ahora se le pide que sume esos números y…

S=13+10+3+8=34

¡Oh, sorpresa!, dicha suma coincide con la predicción que Antonietta había hecho con anterioridad y la muestra en la pantalla de su ordenador portátil: el número 34.

Ella pregunta si somos capaces de descubrir las matemáticas que hay detrás de este “truco”.

Nótese que:

1) Los elementos de cada fila corresponden a una progresión aritmética de diferencia 1, cuyos términos generales serían:

Fila 1: $k_1$

Fila 2: $4+k_2$

Fila 3: $8+k_3$

Fila 4: $12+k_4$

 $k_i∈{1,2,3,4}$

2) Los “cruces” de filas y columnas del mismo color determinan 4 elementos que no pueden estar en la misma fila y columna (en la imagen anterior, que muestra una opción, los “cruces” se muestran en círculos del mismo color que la fila y columna correspondiente).

Obviamente hay otras formas de haber seleccionado un color para cada fila o columna, lo cual supondría otros números en el “cruce” de fila y columna del mismo color. Gracias a 1) sabemos la forma de obtener un elemento cualquiera de cada fila y, por tanto, de cualquier otro que sea “cruce” entre una fila y columna del mismo color. Los cuatro números que podrían resultar del cruce entre una fila y columna del mismo color tendrían la forma: $k_1$,$4+k_2$,$8+k_3$ y $12+k_4$, siendo  $k_i∈{1,2,3,4}$ y $k_i≠k_j$ para cualquier

i,j∈{1,2,3,4}, esto último gracias a 2).

La suma resultante sería S=$k_1$+  $4+k_2$+  $8+k_3$+ $12+k_4$=24+$∑k_i$ 

Nótese que al ser $k_i≠k_j$,  entonces forzosamente $∑k_i$ =1+2+3+4=10, luego S=24+$∑k_i$ =24+10=34, el sorprendente número de la predicción hecha antes de cualquier elección de colores en filas y columnas.

¿Ocurrirá algo similar en el caso general? Veámoslo, suponiendo que construimos una matriz cuadrada n x n con n2 elementos y cuyos elementos son números naturales consecutivos como se muestra a continuación:

Las claves, como hemos visto en el ejemplo explicado que se desarrolla en el vídeo, son dos:

1) Los elementos de cada fila son de una progresión aritmética de diferencia 1.

Los términos generales, que permite describir cómo obtener cualquier elemento de cada fila, serían:

Fila 1: $k_1$

Fila 2: $n+k_2$

Fila 3: $2n+k_3$

…

Fila n: $n^2-n+k_n$

Siendo  $k_i  ∈ {1,2,…,n}$

2) Cada elemento que se obtiene en el cruce de filas y columnas del mismo color no pueden estar situados en la misma fila o columna que otro.

Esto es importante porque implica que (*) $k_i≠k_j$ para todo i,j∈{1,2,…,n}, algo que resultará determinante para saber que el número que se predice de la suma no es tan aleatorio como cabía suponer.

Al igual que razonamos con el ejemplo, podemos afirmar que los números de los cruces entre la filas y columnas del mismo color se podrán obtener a partir del término general de la progresión aritmética de cada una de las filas donde se encuentre, es decir, los “n” números que formarán parte de la suma final serán:

$k_1,n+k_2,2n+k_3,… ,n^2-n+k_n$

Siendo  $k_i  ∈ {1,2,…,n}$

La suma resultante sería:

Ahora bien, gracias a (*) se deduce que $∑k_i =1+2+⋯+n=n(n+1)/2$: la famosa suma atribuida a Gauss cuando era joven.

La suma de la progresión aritmética de n -1 elementos y diferencia n es: $n^2 (n-1)/2$

Ahora ya podemos obtener la suma resultante:

$S=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n^2(n-1)}{2}=\boxed{\frac{n(n^2+1)}{2}}
$

Llegados a este punto, y final, es sencillo saber la suma mágica a partir de n. Por ejemplo, algunas de ellas se reflejan en la siguiente tabla:

Propuesta de ejecución ante un público:

Comentas que los números existen desde el origen de los tiempos y, en multitud de situaciones, nos causan asombro y sorpresa porque entre ellos existen secretas relaciones que nosotros desconocemos. Dices que vas a mostrar un ejemplo, para ello...

Tomas una hoja y un bolígrafo, que entregas a un voluntario o voluntaria del cual pides colabore y sea testigo imparcial de lo que se está a punto de ver.

Le dices que va a escribir en la hoja una matriz cuadrada, concepto que seguramente habrá que explicar, cuyos elementos serán los primeros números que nos enseñaron, los números naturales, comenzando por el 1. Haz que la escriba en la hoja, supervisando que la construye correctamente. Como broma, puedes decirle que le está permitido usar los dedos para ir contando y que no se le olvide ninguno. 

Mientras va escribiendo los números en la matriz, comentas a la audiencia que vas a hacer una predicción que vas a escribir en una pequeña hoja, la cual doblarás y entregarás a alguien del público para que la guarde en un lugar seguro.

Luego, teniendo a mano una caja de rotuladores o lápices de colores, entregas al voluntario/a tantos colores distintos como filas tenga la matriz que ha escrito. Le pides que elija un color al azar y rodee con él los números de la fila que quiera. Luego le pides que repita el proceso hasta rodear cada fila con todos los colores distintos. 

Insistes que la elección del color y la fila es suya.

Ahora le solicitas que haga lo mismo con las columnas.

Posteriormente le haces ver que, independientemente de la elección de la fila, columna y color elegido, cada fila de un color se “cruzará” con una columna del mismo color. Dicho cruce mostrará un número que pedirás rodee con un círculo.

Para finalizar, le pides que escriba los números de los cruces y los sume.

Mientras lo hace, mirando al público, vuelves a decir que ha sido libre en la elección de cada color y la fila o columna que ha elegido. Que podía haber hecho otras elecciones y haber obtenido otros números en el “cruce”, ya que todos los números de la matriz son distintos.

Comprueba la suma resultante con la persona y pídele que la diga, en voz alta, mirando al público.

Luego le pides al guardián de tu nota con la predicción que lea el contenido, que sorprendentemente coincidirá con la suma anterior.

Si hay tiempo y se observa incredulidad y ganas de más, puedes proponer repetirlo otra vez, con otra persona del público, pero modificando el número de filas y columnas. Lo único que se requiere es tener memorizado el término general que te permite obtener la suma conocido el orden de la matriz cuadrada.

Investigación: ¿existe una función cuadrática que sea producto de dos funciones polinómicas de grado 1 que sean tangentes a su gráfica?

 El problema a investigar se podía enunciar así:

"¿Existen dos funciones polinómicas de grado 1, f y g, de forma que sus gráficas sean rectas tangentes a la gráfica de h(x)=f(x).g(x)?"

Sean f(x)=ax+b y g(x)=cx+d; a,c≠0 

f,g y h son derivables y f´(x)=a; g´(x)=c y h´(x)=a.g(x)+f(x).c

Si las gráficas de f y g son tangentes a la gráfica de h en los puntos x=α y x=β respectivamente, entonces:

h´(α)=f´(α)=a  y h(α)=f(α)  [1]       

h´(β)=g´(β)=c y h(β)=g(β) [2]

De [1] a.g(α)+f(α).c=a  y f(α).g(α)=f(α)  

Si f(α)≠0, como f(α).g(α)=f(α), entonces g(α)=1⇒ a+f(α).c=a ⇒ f(α).c=0 ⇒ f(α)=0 (ya que c≠0). Esto supone una contradicción, luego f(α)=0 [3]⇒ a.g(α)=a ⇒  g(α)=1  [4] (ya que a≠0)

En [2] se usa el mismo razonamiento y se deduce que g(β)=0  [5] y f(β)=1  [6]

De [3]  α es raíz del polinomio f y α=-b/a

De [4]  g(α)=g(-b/a)=c∙(-b/a)+d=1 ⇒ -cb+ad=a  [7]  

De [5]  β es raíz del polinomio g y β=-d/c

De [6]  f(β)=f(-d/c)=a∙(-d/c)+b=1 ⇒ -ad+cb=c  [8]  

[7]+[8]⇒ a+c=0⇒ c=-a  ⇒  ab+ad=a (por [7]) ⇒ b+d=1⇒ d=1-b

Respuesta:

Sí, siendo f(x)=ax+b; g(x)=-ax+1-b y h(x)=(ax+b)(-ax+1-b)=-a^2 x+a(1-2b)x+b(1-b)

Los puntos de tangencia de f y g con h son, respectivamente, x=-b/a y x=-d/c

En el siguiente applet de GeoGebra se podrán visualizar algunas soluciones:

Enlace: https://www.geogebra.org/m/k7ppsgty

¡Participamos en la Semana de la Programación de la Unión Europea 2023!

     Estudiantes de nuestro centro, del ámbito científico-tecnológico de la ESPA NII, participarán en octubre de 2023 en la "Semana de la Programación de la Unión Europea". Esta actividad es una iniciativa popular, organizada por voluntarios de los diversos países de la Unión Europea.

    Los objetivos principales de dicha actividad son:

• Promover el pensamiento computacional, la programación y las actividades relacionadas con la tecnología.
• Plasmar ideas gracias a la programación y hacer que esta sea más visible.
• Reunir a personas motivadas y aprender sobre nuestro mundo digital.

    En la actividad que pretendemos llevar a cabo en nuestro centro añadimos una introducción básica a la Inteligencia Artificial (IA), en particular usando ChatGPT.

    La idea es fomentar la integración de la innovación en los sistemas educativos, ofrecer a todos los estudiantes la posibilidad de dar sus primeros pasos como creadores digitales y también empoderar a los estudiantes y ayudarles a comprender mejor el mundo que les rodea.

    La actividad con la que pretendemos participar se denomina:

"Uso de ChatGPT y Python para el desarrollo del pensamiento crítico y computacional"

 

    El alumnado participante usaría ChatGPT como una especie de asistente para resolver problemas matemáticos de carácter aritmético. Desarrollarían habilidades de pensamiento crítico al plantearle preguntas, analizar el razonamiento de las respuestas que proporcione la IA y entender los conceptos detrás de las soluciones o respuestas. Además, podrían explorar cómo se pueden implementar algoritmos en Python para resolver alguno o parte de los problemas que planteen, elaborando previamente un algoritmo de resolución simple, solicitando a ChatGPT que lo codifique, probándolo, comprobando su eficacia y modificándolo, si es necesario, para que sea más eficiente.

Le daremos especial importancia al uso ético de la IA, mostrando, explicando y teniendo siempre presente el siguiente decálogo elaborado ad hoc:

Decálogo Ético para el Uso Responsable de ChatGPT y la Inteligencia Artificial en la Educación

1. Utiliza la IA como una herramienta de aprendizaje: La inteligencia artificial puede ser una excelente herramienta de apoyo en tu proceso educativo, pero no debe reemplazar el esfuerzo y la reflexión personal en el aprendizaje.

2. Valora el conocimiento humano: Reconoce que la IA es una creación humana y que el conocimiento y la sabiduría de tus profesores y compañeros son invaluables. No sustituyas el diálogo y la interacción humana por completo.

3. Verifica y cuestiona la información: La IA puede generar respuestas precisas, pero no siempre tiene en cuenta el contexto. Siempre verifica la información que obtengas y sé crítico al evaluar su calidad y relevancia.

4. Respeta la privacidad y los derechos de autor: No compartas información personal o confidencial a través de la IA, y respeta los derechos de autor al citar adecuadamente las fuentes de información que utilices.

5. No promuevas el odio ni el prejuicio: Evita utilizar la IA para difundir mensajes ofensivos, discriminatorios o perjudiciales hacia cualquier individuo o grupo.

6. Fomenta la creatividad y el pensamiento crítico: No te limites a utilizar la IA como una fuente de respuestas simples. Utilízala como una herramienta para explorar, aprender y desarrollar tus habilidades de pensamiento crítico y resolución de problemas.

7. Sé consciente del sesgo: Reconoce que los modelos de IA pueden tener sesgos inherentes. Trata de minimizar estos sesgos al usar la IA y busca diferentes perspectivas.

8. Mantén un equilibrio entre el mundo digital y el mundo real: No permitas que la IA domine tu vida. Dedica tiempo a actividades fuera de la pantalla y a relacionarte con otros de manera directa.

9. Colabora y comparte conocimientos: La IA puede facilitar la colaboración y el intercambio de información. Aprovecha esta oportunidad para aprender de tus compañeros y enseñar lo que sabes.

10. Actualízate constantemente: La tecnología avanza rápidamente. Mantente informado sobre los desarrollos en inteligencia artificial y adapta tu ética digital a medida que evoluciona la tecnología.

¡Esperamos con impaciencia y ganas el desarrollo de la actividad que promete ser muy interesante!

EVAU-PEVAU: examen resuelto de Matemáticas II de Navarra (convocatoria ordinaria, junio 2022)

 Siempre tengo por costumbre analizar, y en algunos casos resolver, los exámenes de la antigua "Selectividad" que proponen las diversas universidades en España. Al margen de curiosidades y sin intención de expresar mi opinión sobre el modelo y las diferencias entre comunidades autónomas, que la tengo, siempre me ha resultado interesante la propuesta de la Comunidad de Navarra. Este año me ha dado por resolver el examen completo de Matemáticas II, en la convocatoria ordinaria de junio, y aquí lo muestro por si hay alguien curioso que lo haya hecho o intentado hacer y quiera contrastarlo. Se agradecen las sugerencias y comentarios.

Ruta matemática por el Paseo Marítimo de Fuengirola

Como consecuencia de la participación en un MOOC internacional, dentro de un proyecto europeo denominado MaSCE³ (Math Trails in School, Curriculum and Educational Environments of Europe) , un grupo de alumnas del ámbito Científico-Tecnológico de la ESPA NII Semipresencial, durante el curso académico 2020-2021, participó en una ruta matemática, elaborada con la aplicación MathCityMap, que consistía en realizar un paseo donde tienen que realizar actividades matemáticas. En la siguiente presentación se cuenta y muestra la experiencia:

Transformaciones de la curva y=x² que permite obtener la gráfica de cualquier función cuadrática (y de propina cómo deducir la solución real, si existe, de cualquier ecuación cuadrática)

La idea de esta entrada es justificar que la gráfica de cualquier función cuadrática (f(x)=ax²+bx+c) se puede obtener mediante transformaciones de la gráfica de la curva y=x² (parábola básica de todos conocida). Cuando hablamos de transformaciones nos referimos a traslaciones horizontales o verticales, o bien dilataciones o contracciones, de la gráfica. Se entiende que consideramos funciones reales de variable real, así como parámetros reales.

Supongamos la función cuadrática:

$$f(x)=ax^{2}+bx+c,a\neq 0$$

Multiplicamos y dividimos entre $a$ para que el coeficiente de $x^2$ sea 1 y nos facilite los cálculos:

$$a\cdot \left( \dfrac{ax^{2}+bx+c}{a}\right) =a\cdot \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$$

Observamos que $x^{2}+\dfrac{b}{a}x$ "casi" es el cuadrado de una suma, la de $\left( x^{2}+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}$, ya que:

$$\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^{2}=x^{2}+2x.\frac{b}{2a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$

Únicamente faltaría el término $\frac{b^{2}}{4a^{2}}$, pero podemos hacer que aparezca fácilmente sumando y restando dicho término en la expresión que hay dentro del paréntesis (leer nota al final *):

$$a\left (x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}  \right )=a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right )=a\left [ \left (x+\frac{b}{2a}  \right )^{2}+\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right ]$$

Si llamamos $k=\frac{b}{2a}$ y $h=\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}$, hemos demostrado que cualquier polinomio de grado 2, $ax^{2}+bx+c$, se puede expresar de la forma:

$$f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x+k)^{2}+h$$

Se puede observar que cualquier función cuadrática se puede expresar como una combinación de transformaciones de la función cuadrática base $y=x^{2}$:

$k$ indica una traslación horizontal hacia la derecha ($k<0$) o la izquierda ($k>0$)

$h$ una traslación vertical hacia arriba ($h>0$) o hacia abajo ($h<0$)

$a>0$ sería una dilatación ($0<a<1$) o contracción ($a>1$).

En el caso de que $a<0$, entonces $-a>0$ y únicamente hay que recordar que $-f(x)$ es una simetría respecto el eje de abscisas de $f(x)$.

Ejemplo:

Se puede comprobar con una situación real como puede ser el lanzamiento a canasta que se simula en el siguiente enlace realizado en Geogebra.

Transformación de funciones (ejemplo con modelización)

Nótese que, en el caso del lanzamiento, la resolución de la ecuación cuadrática $f(x)=0$ proporcionaría la distancia desde el lanzamiento del balón cuando éste toca el suelo (habría otra solución de la ecuación que, en este caso, por motivos obvios, no tendría sentido en el contexto del problema y el significado de la variable x).

(*) Esta técnica se denomina “completar el cuadrado”, que también es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas completas ya que:

$$ax^{2}+bx+c=0, a\neq 0\rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Por comodidad expresamos la ecuación cuadrática de forma que el coeficiente de $x^2$ sea 1. Ahora completamos el cuadrado en $x^2+\frac{b}{a}x$ . Para ello, y teniendo en cuenta que $$\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$, únicamente  tendremos que hacer lo que ya hicimos en otra ocasión, sumar y restar $\frac{b^{2}}{4a^{2}}$. Así pues:

$$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=0\rightarrow \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=0$$

Ahora agrupamos $\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=\frac{4ac-b^{2}}{4a^{2}}=-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$ y aislamos $\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$.

Teniendo en cuenta que $4a^2>0$, si $b^2-4ac>0$ tendremos dos soluciones reales:

$$x+\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

$$x+\frac{b}{a}=-\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

A $b^2-4ac$ se le suele llamar "discriminante" de la ecuación de segundo grado y se suele representar con el símbolo $\Delta$. Nótese que conocer el signo del discriminante permitirá saber con antelación si la ecuación  va a tener solución real o no y cuántas si la respuesta es afirmativa:

Si $b^2-4ac>0$, hay dos soluciones reales como hemos visto antes: despejando $x$ de las expresiones anteriores obtenemos la "fórmula" de todos conocida:

$$x=-\frac{b}{a}\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

Si $4a^2<0$, no hay solución real alguna (la raíz cuadrada de un nº negativo no es real).

Si $4a^2=0$, sólo hay una solución real: $x=-\frac{b}{a}$

Ejemplo 1:

$x^{2}+4x=13\rightarrow x^{2}+4x-13=0\to x^{2}+4x+4-4-13=0\to (x+2)^2-17=0\to$

$\to (x+2)^2=17\to x+2=\pm \sqrt{17}\to x=-2\pm \sqrt{17}$

Si previamente se hubiese calculado el discriminante ($\Delta=4^2-4.(-13)>0$) se sabría de antemano que la ecuación posee dos soluciones reales.

Ejemplo 2:

$$3x^{2}+6x-5=0\to x^{2}+2x-\frac{5}{3}=0\to x^{2}+2x+1-1-\frac{5}{3}=0\to$$

$$\to(x+1)^2=\frac{8}{3}\to x+1=\pm \sqrt{\frac{8}{3}}=\pm \frac{2\sqrt{6}}{3}\to x=-1\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{-3\pm2\sqrt{6} }{3}$$