El problema a investigar se podía enunciar así:
"¿Existen dos funciones polinómicas de grado 1, f y g, de forma que sus gráficas sean rectas tangentes a la gráfica de h(x)=f(x).g(x)?"
Sean f(x)=ax+b y g(x)=cx+d; a,c≠0
f,g y h son derivables y f´(x)=a; g´(x)=c y h´(x)=a.g(x)+f(x).c
Si las gráficas de f y g son tangentes a la gráfica de h en los puntos x=α y x=β respectivamente, entonces:
h´(α)=f´(α)=a y h(α)=f(α) [1]
h´(β)=g´(β)=c y h(β)=g(β) [2]
De [1] a.g(α)+f(α).c=a y f(α).g(α)=f(α)
Si f(α)≠0, como f(α).g(α)=f(α), entonces g(α)=1⇒ a+f(α).c=a ⇒ f(α).c=0 ⇒ f(α)=0 (ya que c≠0). Esto supone una contradicción, luego f(α)=0 [3]⇒ a.g(α)=a ⇒ g(α)=1 [4] (ya que a≠0)
En [2] se usa el mismo razonamiento y se deduce que g(β)=0 [5] y f(β)=1 [6]
De [3] α es raíz del polinomio f y α=-b/a
De [4] g(α)=g(-b/a)=c∙(-b/a)+d=1 ⇒ -cb+ad=a [7]
De [5] β es raíz del polinomio g y β=-d/c
De [6] f(β)=f(-d/c)=a∙(-d/c)+b=1 ⇒ -ad+cb=c [8]
[7]+[8]⇒ a+c=0⇒ c=-a ⇒ ab+ad=a (por [7]) ⇒ b+d=1⇒ d=1-b
Respuesta:
Sí, siendo f(x)=ax+b; g(x)=-ax+1-b y h(x)=(ax+b)(-ax+1-b)=-a^2 x+a(1-2b)x+b(1-b)
Los puntos de tangencia de f y g con h son, respectivamente, x=-b/a y x=-d/c
En el siguiente applet de GeoGebra se podrán visualizar algunas soluciones:
