Matemáticas «IES Fuengirola nº 1»: marzo 2022

La idea de esta entrada es justificar que la gráfica de cualquier función cuadrática (f(x)=ax²+bx+c) se puede obtener mediante transformaciones de la gráfica de la curva y=x² (parábola básica de todos conocida). Cuando hablamos de transformaciones nos referimos a traslaciones horizontales o verticales, o bien dilataciones o contracciones, de la gráfica. Se entiende que consideramos funciones reales de variable real, así como parámetros reales.

Supongamos la función cuadrática:

$f(x)=ax^{2}+bx+c,a\neq 0$

Multiplicamos y dividimos entre $a$ para que el coeficiente de $x^2$ sea 1 y nos facilite los cálculos:

$a\cdot \left( \dfrac{ax^{2}+bx+c}{a}\right) =a\cdot \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$

Observamos que $x^{2}+\dfrac{b}{a}x$ "casi" es el cuadrado de una suma, la de $\left( x^{2}+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}$ , ya que:

$\left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=x^{2}+2x.\frac{b}{2a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$

Únicamente faltaría el término $\frac{b^{2}}{4a^{2}}$ , pero podemos hacer que aparezca fácilmente sumando y restando dicho término en la expresión que hay dentro del paréntesis (leer nota al final *):

$a\left (x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} \right )=a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right )=a\left [ \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right ]$

Si llamamos $k=\frac{b}{2a}$ y $h=\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}$ , hemos demostrado que cualquier polinomio de grado 2, $ax^{2}+bx+c$ , se puede expresar de la forma:

$f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x+k)^{2}+h$

Se puede observar que cualquier función cuadrática se puede expresar como una combinación de transformaciones de la función cuadrática base $y=x^{2}$ :

$k$ indica una traslación horizontal hacia la derecha ( $k<0$ ) o la izquierda ( $k>0$ )

$h$ una traslación vertical hacia arriba ( $h>0$ ) o hacia abajo ( $h<0$ )

$a>0$ sería una dilatación ( $0<a<1$ ) o contracción ( $a>1$ ).

En el caso de que $a<0$ , entonces $-a>0$ y únicamente hay que recordar que $-f(x)$ es una simetría respecto el eje de abscisas de $f(x)$ .

Ejemplo:

Se puede comprobar con una situación real como puede ser el lanzamiento a canasta que se simula en el siguiente enlace realizado en Geogebra.

Transformación de funciones (ejemplo con modelización)

Nótese que, en el caso del lanzamiento, la resolución de la ecuación cuadrática

$f(x)=0$ proporcionaría la distancia desde el lanzamiento del balón cuando éste toca el suelo (habría otra solución de la ecuación que, en este caso, por motivos obvios, no tendría sentido en el contexto del problema y el significado de la variable x).

(*) Esta técnica se denomina “completar el cuadrado”, que también es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas completas ya que:

$ax^{2}+bx+c=0, a\neq 0\rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

Por comodidad expresamos la ecuación cuadrática de forma que el coeficiente de $x^2$ sea 1. Ahora completamos el cuadrado en $x^2+\frac{b}{a}x$ . Para ello, y teniendo en cuenta que

$\left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$ , únicamente tendremos que hacer lo que ya hicimos en otra ocasión, sumar y restar

$\frac{b^{2}}{4a^{2}}$ . Así pues:

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=0\rightarrow \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=0$

Ahora agrupamos $\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=\frac{4ac-b^{2}}{4a^{2}}=-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$ y aislamos $\left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$ .

Teniendo en cuenta que $4a^2>0$ , si $b^2-4ac>0$ tendremos dos soluciones reales:

$x+\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x+\frac{b}{a}=-\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

A $b^2-4ac$ se le suele llamar "discriminante" de la ecuación de segundo grado y se suele representar con el símbolo $\Delta$ . Nótese que conocer el signo del discriminante permitirá saber con antelación si la ecuación va a tener solución real o no y cuántas si la respuesta es afirmativa:

Si $b^2-4ac>0$ , hay dos soluciones reales como hemos visto antes: despejando $x$ de las expresiones anteriores obtenemos la "fórmula" de todos conocida:

$x=-\frac{b}{a}\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Si $4a^2<0$ , no hay solución real alguna (la raíz cuadrada de un nº negativo no es real).

Si $4a^2=0$ , sólo hay una solución real: $x=-\frac{b}{a}$

Ejemplo 1:

$x^{2}+4x=13\rightarrow x^{2}+4x-13=0\to x^{2}+4x+4-4-13=0\to (x+2)^2-17=0\to$

$\to (x+2)^2=17\to x+2=\pm \sqrt{17}\to x=-2\pm \sqrt{17}$

Si previamente se hubiese calculado el discriminante ( $\Delta=4^2-4.(-13)>0$ ) se sabría de antemano que la ecuación posee dos soluciones reales.

Ejemplo 2:

$3x^{2}+6x-5=0\to x^{2}+2x-\frac{5}{3}=0\to x^{2}+2x+1-1-\frac{5}{3}=0\to$

$\to(x+1)^2=\frac{8}{3}\to x+1=\pm \sqrt{\frac{8}{3}}=\pm \frac{2\sqrt{6}}{3}\to x=-1\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{-3\pm2\sqrt{6} }{3}$