Un problema interesante

 

Mientras estaba procrastinando con el móvil durante estas navidades, me encuentro con una imagen donde aparecen diversos problemas de matemáticas. En particular me llamo la atención éste, cuyo enunciado literal es:

La traducción del enunciado al castellano sería la siguiente:

Encuentra un número entero positivo cuyo primer dígito sea 1 y que cumpla la siguiente propiedad: si se traslada este dígito al final del número, el número resultante es el triple del original.

(Olimpiada Matemática Británica, 1990, P1)

Lo primero que se me vino a la cabeza era comenzar a probar si era posible con un mínimo de dígitos, al menos dos, para ver si era posible y, en ese caso, detectar si había más de una respuesta. Si no era posible, continuar buscando un número con tres dígitos y así sucesivamente.

Número entero positivo de dos dígitos

N escrito como ”1a”, luego N=10+a.

Trasladando el 1 al final, las unidades, obtenemos el número “a1”, es decir 10+a, siendo éste el triple de N, luego se tendría que cumplir que $3N=10a+1\rightarrow3\left(10+a\right)=10a+1\rightarrow29=7a$, que no es posible porque $29\neq\dot{7}$ (que viene a decir que 29 no es un múltiplo de 7, algo que sabemos).

Número entero positivo de tres dígitos

Si $N=”1ab”$, entonces representa el número $N={10}^2+10a+b$.

Trasladando el 1 al final, escribiríamos $“ab1”$, es decir, el número ${10}^2a+10b+1$ que sería el triple de N, luego $3\left({10}^2+10a+b\right)={10}^2a+10b+1\rightarrow299=7(10a+b)$, que tampoco puede ser porque $299\neq\dot{7}$.

Llegados a este punto se comienza a vislumbrar un patrón en el número que buscamos, si el número N tiene n dígitos, tendría que cumplirse que $2\underbrace{99\cdots 9}_{n-1}=\dot{7}
$

También se observa que N se podría expresar como $N={10}^{n-1}+x$, siendo x el número que resulta de suprimir el 1 que es el primer dígito. En los dos casos que vimos al principio, cuando N tiene dos dígitos, $x=a$. Si N tiene tres dígitos, $x=10a+b$. Nótese que entonces se tenía que cumplir que:

29=7x, en el caso de que N tuviese dos dígitos

299=7x, en el caso de que N tuviese tres dígitos

Llegados a este punto, basta con encontrar un número de la forma $29\ldots9$ que sea múltiplo de 7. Con pocas comprobaciones encontramos el 299999=7.42857. De aquí deducimos que 299999=7x, con N seis dígitos (n=6), siendo entonces x=299999/7=42857 y el número entero buscado $N=142857={10}^{n-1}+x={10}^5+42857$ (se puede comprobar fácilmente que 3.142857=428571).

Se podría objetar que estamos haciendo una deducción únicamente a partir de haber observado cierto patrón cuando N tiene dos o tres dígitos, más adelante haremos una demostración más formal y general, suponiendo que el número entero que buscamos, N, tiene n dígitos que desconocemos y que comienza con 1. Pero antes veremos una demostración sorprendentemente ingeniosa y simple: sabemos que nuestro número N, si existe, comienza por 1, pero desconocemos el resto de dígitos y también cuáles serían estos. En el caso de que existiera, tendría que cumplirse la propiedad indicada en el enunciado, es decir, el número “…1” sería el tripe que nuestro número N=”1…”, donde “…” representa el resto de dígitos de N después del 1 inicial. En este caso, si multiplicamos por 3 el número “1…” tendríamos que obtener “…1”. ¡Hagámoslo pues!, es decir, busquemos, más bien deduzcamos, los dígitos que faltan cuando hacemos la multiplicación y sabemos lo que tendría que ocurrir. Voy a mostrar visualmente la multiplicación y el resultado, como nos enseñaron a hacer, para que se observe la idea y cómo se van deduciendo los dígitos del número que estamos buscando:

El recuadro en blanco □ indica las unidades de nuestro número N que comienza por 1. El único número de un dígito que multiplicado por 3 proporciona un 1 en las unidades es el 7, luego ya tenemos las unidades de nuestro número y podemos rellenar el recuadro con él:

Recuérdese ahora que, siendo nuestro número 1…7, al pasar el 1 a las unidades, el número resultante tendrá el 7 como decenas. Nuestra multiplicación entonces sería ésta:

Ahora tocaría encontrar el dígito de las decenas de nuestro número, donde se encuentra el recuadro. Antes de seguir hay que recordar que antes, al multiplicar 3.7 y obtener 21, ubicamos únicamente las unidades, 1, en el resultado final, pero queda en el “limbo” las dos decenas, 20. Esto es importante porque al buscar un dígito, el de las decenas de nuestro número, que multiplicado por 3 nos proporcione un número donde 7 sean las unidades, hay que tener en cuenta que habría que añadirle las 2 decenas que estaban en el limbo y que obtuvimos de la primera operación para obtener las unidades del número resultante.

Dicho lo anterior, es fácil saber que el dígito que buscamos para nuestro recuadro es 5 porque 3.5 serían 15 decenas, más las dos que estaban pendientes, sumarían 17 decenas, con lo cual conseguimos el ansiado 7 de las decenas del resultado de nuestra multiplicación (quedando pendiente después de añadir 10 decenas, es decir, 1 centena para después).

Nuestra multiplicación quedaría entonces así:

Seguramente ya habrán comprendido la idea de este método “a la inversa” en una multiplicación habitual. Siguiendo el mismo razonamiento se pueden ir deduciendo el resto de dígitos de nuestro número entero N, obteniéndose sucesivamente los dígitos 8, 2 y último que sería el 4. 

Se demostraría así la existencia de un número entero N=142857 que cumple la propiedad indicada.

Pasemos ahora a una demostración más formal, más “matemática”, que no deja lugar a dudas de la existencia de un número entero positivo con la condición que se indica y la propiedad que cumple.

Un número N de n dígitos que comienza por 1 se puede expresar como $“1x”$, es decir, $N={10}^{n-1}+x$, siendo x un número con n-1 dígitos y que desconocemos.

Al traspasar el 1 que encuentra al inicio a las unidades del número resultante, éste se puede expresar entonces como $10x+1$ y sería el triple de N, es decir, tendría que cumplirse que:

$3N=3\left({10}^{n-1}+x\right)=10x+1\rightarrow3.{10}^{n-1}-1=7x$      (*)

Que viene a decir que:

$3\cdot 10^{\,n-1}-1 \equiv 0 \pmod{7}$

O lo que es lo mismo: 

$3.{10}^{n-1}\equiv1\ mod(7)$

El inverso (multiplicativo) de 3 en mod(7) es 5 ya que $3.5\equiv1\ mod(7)$, luego:

$5.\ 3.{10}^{n-1}\equiv5.\ 1\ mod(7)\rightarrow{10}^{n-1}\equiv5\ mod(7)$

Basta entonces encontrar $n$ de forma que se cumpla lo anterior. Haciendo algunas comprobaciones, encontramos $n=6$ de forma que ${10}^5\equiv5\ mod(7)$.

De (*) se obtiene que $3.{10}^5-1=7x\rightarrow x=\frac{3.{10}^5-1}{7}=42857$, de donde $N=142857$.

Como curiosidad, comentar que este número 142857 es algo peculiar por varios motivos:

1) Es un número cíclico, en el sentido de que, si multiplicamos dicho número por 1, 2, 3, 4, 5 o 6, se obtiene también un número cuyos dígitos son los mismos que aparecen en 142857 pero en distintos lugares.

2) 142857 es el periodo del número decimal que aparece al realizar la división $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}$.

3) La propiedad 1) da lugar a algún que otro “truco” de magia impresionante (leer el capítulo 10 del libro “Circo Matemático” de Alianza Editorial, Madrid, cuyo autor es el famoso divulgador Martin Gardner)