La fórmula de Herón y un par de retos trigonométricos

Hemos estado trabajando la trigonometría y, aunque no la hemos trabajado en clase, es curiosa una relación entre los lados de cualquier triángulo y su área conocida como la fórmula de Herón.

Sería interesante que analizaseis su origen, demostración y utilidad (al final de la entrada proporciono un enlace) Para que podáis ver diversas situaciones donde se puede aplicar, os propongo un par de retos.

Reto 1

Supongamos una parcela cuyas medidas vienen representadas en el siguiente plano hecho a escala:

¿Podrías calcular la superficie de la parcela?

Reto 2

Éste es un problema procedente de italia (siglo XV)

Un círculo con un diámetro de 4 unidades está inscrito en un triángulo. Un punto de tangencia del círculo con el lado del triángulo divide este lado en longitudes de 6 y 8 unidades. ¿Cuáles son las longitudes de los otros dos lados del triángulo?

Como podéis imaginar, los dos problemas se podrían resolver de distintas formas. En cualquier caso es recomendable que te ayudes de un dibujo que ilustre la situación.

Enlace: Fórmula de Herón (Wikipedia)

Derivada e integral de una función

WolframAlpha es un "buscador de respuestas" y entre sus usos principales está el que te permite obtener respuesta estructurada a determinadas cuestiones relacionadas con las Matemáticas. Por ejemplo, y dentro del tema que nos ocupa, podemos usarlo para calcular la función derivada o la primitiva (integral indefinida) de una función.

Elegimos la opción "Derivar" o "Integrar" y, a continuación, introducimos la expresión analítica de la función. Hay que tener en cuenta determinados detalles, por ejemplo, para expresar una potencia escribimos "^", para expresar el logaritmo neperiano "log" y "sin(x)" para el senx.
Otros caracteres especiales:

*     multiplicación
/     división
^    potencia

exp(  )     para expresar el número "e" elevado a lo hay entre paréntesis

sqrt( )      para expresar la raíz cuadrada de lo que hay entere paréntesis

log(x)      representa el logaritmo neperiano de x

Como ejemplo, elegimos la opción "Integrar" e introduzco la expresión "2x-4", la respuesta que nos proporciona es:

Como se puede observar, obtenemos por un lado la función primitiva pero sin simplificar. El resultado simplificado es:

Por otro lado, también nos proporciona la gráfica de la función primitiva, en este caso una función cuadrática, con dos escalas distintas (en este caso, es evidente que nos resulta mejor la primera gráfica).

Resulta interesante esta herramienta.

Para más información:

Wolfram Alpha en español

Transformación de una función

Un aspecto importante en el estudio de funciones es la representación gráfica de la misma. Comenzamos estudiando las llamadas "funciones elementales" (que las clasificamos por "familias", así estudiamos las funciones polinómicas, racionales, radicales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc., siendo las más sencilla de todas la función constante)

También hemos hablado de la función más "artificial" de todas, la función a trozos, que no es más que una función construida a partir de cualquiera de las anteriores pero definida en diversos intervalos) 

Las funciones elementales nos va a permitir conocer, con posterioridad, otro tipo de funciones más "difíciles" pero que tienen similares características que las "elementales".

En muchas ocasiones, si conocemos la gráfica de alguna función podemos obtener fácilmente la gráfica de otra, de la misma familia, pero donde observamos ligeras modificaciones. Concretamente, si conocemos la gráfica de una función y=f(x), podemos obtener fácilmente la gráfica de las siguientes funciones (k es una constante cualquiera):

f(x±k), f(x)±k, f(-x), -f(x)

Por ejemplo, conocemos la gráfica de la función:

A partir de ella podremos representar fácilmente la gráfica de las funciones:

Las dos primeras transformaciones suponen una traslación horizontal y vertical, respectivamente, de la función original.

Las dos últimas transformaciones representan la gráfica simétrica de nuestra función original respecto al eje Y y eje X respectivamente.

Ni que decir tiene que podemos realizar combinaciones de las distintas transformaciones, como por ejemplo, realizar una traslación horizontal a la derecha de 3 unidades y luego una simetría respecto el eje X, obteniendo entonces la función:

Y cuya representación gráfica sería:

También podríamos hacer dilataciones y contracciones en la gráfica de una función, para poder entender mejor en qué consisten dichas transformaciones es mejor que uséis el siguiente applet realizado con Geogebra (introduce la función de entrada que quieras y prueba con las distintas transformaciones que aparecen)

Enlace a applet de Geogebra: Transformación de funciones 
(necesario que tengas Java instalado en tu ordenador)

Por último, el siguiente vídeo es muy ilustrativo ya que proporcione múltiples ejemplos: