Transformación de una función

Un aspecto importante en el estudio de funciones es la representación gráfica de la misma. Comenzamos estudiando las llamadas "funciones elementales" (que las clasificamos por "familias", así estudiamos las funciones polinómicas, racionales, radicales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc., siendo las más sencilla de todas la función constante)

También hemos hablado de la función más "artificial" de todas, la función a trozos, que no es más que una función construida a partir de cualquiera de las anteriores pero definida en diversos intervalos) 

Las funciones elementales nos va a permitir conocer, con posterioridad, otro tipo de funciones más "difíciles" pero que tienen similares características que las "elementales".

En muchas ocasiones, si conocemos la gráfica de alguna función podemos obtener fácilmente la gráfica de otra, de la misma familia, pero donde observamos ligeras modificaciones. Concretamente, si conocemos la gráfica de una función y=f(x), podemos obtener fácilmente la gráfica de las siguientes funciones (k es una constante cualquiera):

f(x±k), f(x)±k, f(-x), -f(x)

Por ejemplo, conocemos la gráfica de la función:

A partir de ella podremos representar fácilmente la gráfica de las funciones:

Las dos primeras transformaciones suponen una traslación horizontal y vertical, respectivamente, de la función original.

Las dos últimas transformaciones representan la gráfica simétrica de nuestra función original respecto al eje Y y eje X respectivamente.

Ni que decir tiene que podemos realizar combinaciones de las distintas transformaciones, como por ejemplo, realizar una traslación horizontal a la derecha de 3 unidades y luego una simetría respecto el eje X, obteniendo entonces la función:

Y cuya representación gráfica sería:

También podríamos hacer dilataciones y contracciones en la gráfica de una función, para poder entender mejor en qué consisten dichas transformaciones es mejor que uséis el siguiente applet realizado con Geogebra (introduce la función de entrada que quieras y prueba con las distintas transformaciones que aparecen)

Enlace a applet de Geogebra: Transformación de funciones 
(necesario que tengas Java instalado en tu ordenador)

Por último, el siguiente vídeo es muy ilustrativo ya que proporcione múltiples ejemplos: