Un problema interesante

 

Mientras estaba procrastinando con el móvil durante estas navidades, me encuentro con una imagen donde aparecen diversos problemas de matemáticas. En particular me llamo la atención éste, cuyo enunciado literal es:

La traducción del enunciado al castellano sería la siguiente:

Encuentra un número entero positivo cuyo primer dígito sea 1 y que cumpla la siguiente propiedad: si se traslada este dígito al final del número, el número resultante es el triple del original.

(Olimpiada Matemática Británica, 1990, P1)

Lo primero que se me vino a la cabeza era comenzar a probar si era posible con un mínimo de dígitos, al menos dos, para ver si era posible y, en ese caso, detectar si había más de una respuesta. Si no era posible, continuar buscando un número con tres dígitos y así sucesivamente.

Número entero positivo de dos dígitos

N escrito como ”1a”, luego N=10+a.

Trasladando el 1 al final, las unidades, obtenemos el número “a1”, es decir 10+a, siendo éste el triple de N, luego se tendría que cumplir que $3N=10a+1\rightarrow3\left(10+a\right)=10a+1\rightarrow29=7a$, que no es posible porque $29\neq\dot{7}$ (que viene a decir que 29 no es un múltiplo de 7, algo que sabemos).

Número entero positivo de tres dígitos

Si $N=”1ab”$, entonces representa el número $N={10}^2+10a+b$.

Trasladando el 1 al final, escribiríamos $“ab1”$, es decir, el número ${10}^2a+10b+1$ que sería el triple de N, luego $3\left({10}^2+10a+b\right)={10}^2a+10b+1\rightarrow299=7(10a+b)$, que tampoco puede ser porque $299\neq\dot{7}$.

Llegados a este punto se comienza a vislumbrar un patrón en el número que buscamos, si el número N tiene n dígitos, tendría que cumplirse que $2\underbrace{99\cdots 9}_{n-1}=\dot{7}
$

También se observa que N se podría expresar como $N={10}^{n-1}+x$, siendo x el número que resulta de suprimir el 1 que es el primer dígito. En los dos casos que vimos al principio, cuando N tiene dos dígitos, $x=a$. Si N tiene tres dígitos, $x=10a+b$. Nótese que entonces se tenía que cumplir que:

29=7x, en el caso de que N tuviese dos dígitos

299=7x, en el caso de que N tuviese tres dígitos

Llegados a este punto, basta con encontrar un número de la forma $29\ldots9$ que sea múltiplo de 7. Con pocas comprobaciones encontramos el 299999=7.42857. De aquí deducimos que 299999=7x, con N seis dígitos (n=6), siendo entonces x=299999/7=42857 y el número entero buscado $N=142857={10}^{n-1}+x={10}^5+42857$ (se puede comprobar fácilmente que 3.142857=428571).

Se podría objetar que estamos haciendo una deducción únicamente a partir de haber observado cierto patrón cuando N tiene dos o tres dígitos, más adelante haremos una demostración más formal y general, suponiendo que el número entero que buscamos, N, tiene n dígitos que desconocemos y que comienza con 1. Pero antes veremos una demostración sorprendentemente ingeniosa y simple: sabemos que nuestro número N, si existe, comienza por 1, pero desconocemos el resto de dígitos y también cuáles serían estos. En el caso de que existiera, tendría que cumplirse la propiedad indicada en el enunciado, es decir, el número “…1” sería el tripe que nuestro número N=”1…”, donde “…” representa el resto de dígitos de N después del 1 inicial. En este caso, si multiplicamos por 3 el número “1…” tendríamos que obtener “…1”. ¡Hagámoslo pues!, es decir, busquemos, más bien deduzcamos, los dígitos que faltan cuando hacemos la multiplicación y sabemos lo que tendría que ocurrir. Voy a mostrar visualmente la multiplicación y el resultado, como nos enseñaron a hacer, para que se observe la idea y cómo se van deduciendo los dígitos del número que estamos buscando:

El recuadro en blanco □ indica las unidades de nuestro número N que comienza por 1. El único número de un dígito que multiplicado por 3 proporciona un 1 en las unidades es el 7, luego ya tenemos las unidades de nuestro número y podemos rellenar el recuadro con él:

Recuérdese ahora que, siendo nuestro número 1…7, al pasar el 1 a las unidades, el número resultante tendrá el 7 como decenas. Nuestra multiplicación entonces sería ésta:

Ahora tocaría encontrar el dígito de las decenas de nuestro número, donde se encuentra el recuadro. Antes de seguir hay que recordar que antes, al multiplicar 3.7 y obtener 21, ubicamos únicamente las unidades, 1, en el resultado final, pero queda en el “limbo” las dos decenas, 20. Esto es importante porque al buscar un dígito, el de las decenas de nuestro número, que multiplicado por 3 nos proporcione un número donde 7 sean las unidades, hay que tener en cuenta que habría que añadirle las 2 decenas que estaban en el limbo y que obtuvimos de la primera operación para obtener las unidades del número resultante.

Dicho lo anterior, es fácil saber que el dígito que buscamos para nuestro recuadro es 5 porque 3.5 serían 15 decenas, más las dos que estaban pendientes, sumarían 17 decenas, con lo cual conseguimos el ansiado 7 de las decenas del resultado de nuestra multiplicación (quedando pendiente después de añadir 10 decenas, es decir, 1 centena para después).

Nuestra multiplicación quedaría entonces así:

Seguramente ya habrán comprendido la idea de este método “a la inversa” en una multiplicación habitual. Siguiendo el mismo razonamiento se pueden ir deduciendo el resto de dígitos de nuestro número entero N, obteniéndose sucesivamente los dígitos 8, 2 y último que sería el 4. 

Se demostraría así la existencia de un número entero N=142857 que cumple la propiedad indicada.

Pasemos ahora a una demostración más formal, más “matemática”, que no deja lugar a dudas de la existencia de un número entero positivo con la condición que se indica y la propiedad que cumple.

Un número N de n dígitos que comienza por 1 se puede expresar como $“1x”$, es decir, $N={10}^{n-1}+x$, siendo x un número con n-1 dígitos y que desconocemos.

Al traspasar el 1 que encuentra al inicio a las unidades del número resultante, éste se puede expresar entonces como $10x+1$ y sería el triple de N, es decir, tendría que cumplirse que:

$3N=3\left({10}^{n-1}+x\right)=10x+1\rightarrow3.{10}^{n-1}-1=7x$      (*)

Que viene a decir que:

$3\cdot 10^{\,n-1}-1 \equiv 0 \pmod{7}$

O lo que es lo mismo: 

$3.{10}^{n-1}\equiv1\ mod(7)$

El inverso (multiplicativo) de 3 en mod(7) es 5 ya que $3.5\equiv1\ mod(7)$, luego:

$5.\ 3.{10}^{n-1}\equiv5.\ 1\ mod(7)\rightarrow{10}^{n-1}\equiv5\ mod(7)$

Basta entonces encontrar $n$ de forma que se cumpla lo anterior. Haciendo algunas comprobaciones, encontramos $n=6$ de forma que ${10}^5\equiv5\ mod(7)$.

De (*) se obtiene que $3.{10}^5-1=7x\rightarrow x=\frac{3.{10}^5-1}{7}=42857$, de donde $N=142857$.

Como curiosidad, comentar que este número 142857 es algo peculiar por varios motivos:

1) Es un número cíclico, en el sentido de que, si multiplicamos dicho número por 1, 2, 3, 4, 5 o 6, se obtiene también un número cuyos dígitos son los mismos que aparecen en 142857 pero en distintos lugares.

2) 142857 es el periodo del número decimal que aparece al realizar la división $\frac{1}{7}=0,\overline{142857}$.

3) La propiedad 1) da lugar a algún que otro “truco” de magia impresionante (leer el capítulo 10 del libro “Circo Matemático” de Alianza Editorial, Madrid, cuyo autor es el famoso divulgador Martin Gardner)

Matemagia con números

 

Ya inmersos en las vacaciones de Navidad, estaba viendo vídeos con el móvil cuando, de forma inesperada, aparece uno sobre las matemáticas que hay detrás de algunos “trucos” de magia y que me llamó la atención:

Captura de instagram, enlace al vídeo:

https://www.instagram.com/reel/DRznWiskZRS/?igsh=MTU2bGZrZjVuMTlqcw==

En el anterior vídeo, Antonietta Mira, que es una estadística computacional que trabaja en la Università della Svizzera (Lugano, Suiza), presenta un truco numérico basado en una matriz cuadrada, nxn, donde sus elementos son los números naturales consecutivos 1, 2, …, n², ubicados en orden creciente comenzando, de izquierda a derecha, y de arriba hacia abajo, a partir del elemento situado en la primeria fila y primera columna (n sería el número de filas y también de columnas). En la imagen se observa, por ejemplo, el caso n=4 y en la pizarra se ve los elementos de la matriz 4x4 con todos los elementos.

A continuación, se entrega al observador participante tantos colores distintos como filas (o columnas) aparezcan. En el caso del vídeo, 4 colores distintos.

Luego se pide que rodee los elementos de cada una de las filas usando un color diferente en cada ocasión. La elección del color en cada fila se deja al libre albedrío del observador participante. De igual forma se pide que lo haga, pero en cada columna.

Independientemente de la elección del color en cada fila o columna, habrá cuatro “cruces” de fila y columna del mismo color. Se pide al observador participante que rodee con un círculo cada uno de los números que aparecen en esos cruces.

Vamos a analizar lo que ocurre con detalle en un ejemplo similar al del vídeo, n=4 y los n²=16 primeros números naturales positivos:

Ahora se le pide que sume esos números y…

S=13+10+3+8=34

¡Oh, sorpresa!, dicha suma coincide con la predicción que Antonietta había hecho con anterioridad y la muestra en la pantalla de su ordenador portátil: el número 34.

Ella pregunta si somos capaces de descubrir las matemáticas que hay detrás de este “truco”.

Nótese que:

1) Los elementos de cada fila corresponden a una progresión aritmética de diferencia 1, cuyos términos generales serían:

Fila 1: $k_1$

Fila 2: $4+k_2$

Fila 3: $8+k_3$

Fila 4: $12+k_4$

 $k_i∈{1,2,3,4}$

2) Los “cruces” de filas y columnas del mismo color determinan 4 elementos que no pueden estar en la misma fila y columna (en la imagen anterior, que muestra una opción, los “cruces” se muestran en círculos del mismo color que la fila y columna correspondiente).

Obviamente hay otras formas de haber seleccionado un color para cada fila o columna, lo cual supondría otros números en el “cruce” de fila y columna del mismo color. Gracias a 1) sabemos la forma de obtener un elemento cualquiera de cada fila y, por tanto, de cualquier otro que sea “cruce” entre una fila y columna del mismo color. Los cuatro números que podrían resultar del cruce entre una fila y columna del mismo color tendrían la forma: $k_1$,$4+k_2$,$8+k_3$ y $12+k_4$, siendo  $k_i∈{1,2,3,4}$ y $k_i≠k_j$ para cualquier

i,j∈{1,2,3,4}, esto último gracias a 2).

La suma resultante sería S=$k_1$+  $4+k_2$+  $8+k_3$+ $12+k_4$=24+$∑k_i$ 

Nótese que al ser $k_i≠k_j$,  entonces forzosamente $∑k_i$ =1+2+3+4=10, luego S=24+$∑k_i$ =24+10=34, el sorprendente número de la predicción hecha antes de cualquier elección de colores en filas y columnas.

¿Ocurrirá algo similar en el caso general? Veámoslo, suponiendo que construimos una matriz cuadrada n x n con n2 elementos y cuyos elementos son números naturales consecutivos como se muestra a continuación:

Las claves, como hemos visto en el ejemplo explicado que se desarrolla en el vídeo, son dos:

1) Los elementos de cada fila son de una progresión aritmética de diferencia 1.

Los términos generales, que permite describir cómo obtener cualquier elemento de cada fila, serían:

Fila 1: $k_1$

Fila 2: $n+k_2$

Fila 3: $2n+k_3$

…

Fila n: $n^2-n+k_n$

Siendo  $k_i  ∈ {1,2,…,n}$

2) Cada elemento que se obtiene en el cruce de filas y columnas del mismo color no pueden estar situados en la misma fila o columna que otro.

Esto es importante porque implica que (*) $k_i≠k_j$ para todo i,j∈{1,2,…,n}, algo que resultará determinante para saber que el número que se predice de la suma no es tan aleatorio como cabía suponer.

Al igual que razonamos con el ejemplo, podemos afirmar que los números de los cruces entre la filas y columnas del mismo color se podrán obtener a partir del término general de la progresión aritmética de cada una de las filas donde se encuentre, es decir, los “n” números que formarán parte de la suma final serán:

$k_1,n+k_2,2n+k_3,… ,n^2-n+k_n$

Siendo  $k_i  ∈ {1,2,…,n}$

La suma resultante sería:

Ahora bien, gracias a (*) se deduce que $∑k_i$ =1+2+⋯+n=$n(n+1)/2$: la famosa suma atribuida a Gauss cuando era joven.

La suma de la progresión aritmética de n -1 elementos y diferencia n es: $n^2 (n-1)/2$

Ahora ya podemos obtener la suma resultante:

$S=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n^2(n-1)}{2}=\boxed{\frac{n(n^2+1)}{2}}
$

Llegados a este punto, y final, es sencillo saber la suma mágica a partir de n. Por ejemplo, algunas de ellas se reflejan en la siguiente tabla:

Propuesta de ejecución ante un público:

Comentas que los números existen desde el origen de los tiempos y, en multitud de situaciones, nos causan asombro y sorpresa como en este caso.

Tomas una hoja y un bolígrafo, que entregas a un voluntario o voluntaria del cual pides colabore y sea testigo imparcial de lo que se está a punto de ver.

Le dices que va a escribir en la hoja una matriz cuadrada, concepto que seguramente habrá que explicar, cuyos elementos serán los primeros números que nos enseñaron, los números naturales, comenzando por el 1. Haz que la escriba en la hoja, supervisando que la construye correctamente. Como broma, puedes decirle que le está permitido usar los dedos para ir contando y que no se le olvide ninguno. 

Mientras va escribiendo los números en la matriz, comentas a la audiencia que vas a hacer una predicción que vas a escribir en una pequeña hoja, la cual doblarás y entregarás a alguien del público para que la guarde en un lugar seguro.

Luego, teniendo a mano una caja de rotuladores o lápices de colores, entregas al voluntario/a tantos colores distintos como filas tenga la matriz que ha escrito. Le pides que elija un color al azar y rodee con él los números de la fila que quiera. Luego le pides que repita el proceso hasta rodear cada fila con todos los colores distintos. 

Insistes que la elección del color y la fila es suya.

Ahora le solicitas que haga lo mismo con las columnas.

Posteriormente le haces ver que, independientemente de la elección de la fila, columna y color elegido, cada fila de un color se “cruzará” con una columna del mismo color. Dicho cruce mostrará un número que pedirás rodee con un círculo.

Para finalizar, le pides que escriba los números de los cruces y los sume.

Mientras lo hace, mirando al público, vuelves a decir que ha sido libre en la elección de cada color y la fila o columna que ha elegido. Que podía haber hecho otras elecciones y haber obtenido otros números en el “cruce”, ya que todos los números de la matriz son distintos.

Comprueba la suma resultante con la persona y pídele que la diga, en voz alta, mirando al público.

Luego le pides al guardián de tu nota con la predicción que lea el contenido, que sorprendentemente coincidirá con la suma anterior.

Si hay tiempo y se observa incredulidad y ganas de más, puedes proponer repetirlo otra vez, con otra persona del público, pero modificando el número de filas y columnas. Lo único que se requiere es tener memorizado el término general que te permite obtener la suma conocido el orden de la matriz cuadrada.