La belleza de las Matemáticas

Las matemáticas, vistas correctamente, poseen no sólo la verdad, sino la belleza suprema, una belleza fría y austera, sin los adornos magníficos de la pintura o la música.

Bertrand Russell

La cita anterior aparece al principio del siguiente vídeo y es una más para intentar describir la belleza de la Matemáticas.

Salvo en la cita del principio, en todo el vídeo la pantalla se divide en tres partes:

- la parte de la derecha muestra escenas familiares de la vida real,

- la parte central representa la modelización gráfica de dichas escenas,

- la parte de la izquierda representa las fórmulas (ecuaciones) matemáticas que describen dicha modelización y, por tanto, representarían los fenómenos que se ven a la derecha.

Ciertamente las Matemáticas están presentes a nuestro alrededor aunque no nos demos cuenta.

Espero que os guste (merece la pena verlo a pantalla completa), a mí me ha encantado.

Operaciones con expresiones infinitas (que pueden aparecer en el cálculo de límites)

El matemático indio Brahmagupta (siglo VII), considerando k no nulo y a propósito de una expresión del  tipo   

decía:

“(..) Cuanto más disminuye el divisor, tanto mayor será el cociente. Si el divisor se hace extremadamente pequeño, el cociente se hace extremadamente grande.”

Pero mientras pueda decirse que es de tal o tal otra magnitud, todavía no se ha llegado a la magnitud extrema, pues siempre puede darse un número mayor que él. El cociente, por lo tanto (cuando el divisor se reduce al mínimo posible, es decir, a cero), se hace indefiniblemente grande y puede llamarse, con razón, infinito.”

Aunque habría ya que discutir qué ocurre si k>0, o si k<0, y si los "extremadamente pequeño" se refiere a números cercanos a 0 positivos o negativos, es esta la forma de razonar que te sugiero (“si el divisor se hace extremadamente pequeño, el cociente se hace extremadamente grande”). De una forma similar se podría razonar en multitud de límites que te vas a encontrar. PIENSA y RAZONA cuál será el valor final del límite (la mayoría de las veces es más fácil de lo que te imaginas) .Ayúdate de la calculadora cuando lo necesites, pero llega a convicciones claras.

 A continuación aparecen algunos resultados de operar con límites de funciones en los que aparece “infinito”. NO TRATES DE MEMORIZARLOS sino de entenderlos. Mira bien cada uno de ellos, haz algunas pruebas, ponte algunos ejemplos y acaba viéndolos tan razonables que los recordarás cuando te los encuentres.

Hay veces que cuando se intenta calcular el límite de una función, resulta que no podemos saber con exactitud cuál es el valor de dicho límite. Esos casos son llamados INDETERMINACIONES y habría que realizar un estudio más profundo o utilizar algunas técnicas concretas (según el caso) para poder determinar dicho límite, pues cuando aparece una indeterminación puede ocurrir cualquier cosa (como ya se verá en los ejercicios y ejemplos de clase)

Las indeterminaciones que te puedes encontrar son:

Hay multitud de lugares en la web, por no decir la bibliografía existente, donde podéis obtener más información. Por ejemplo, en la Wikipedia hay una entrada sobre el infinito o también en este documento.

Corto PIPAS: un poco de humor

Hace poco tuve la suerte de poder ver el vídeo que viene a continuación. Se trata de un corto escrito y dirigido por Manuela Moreno. Me pareció bastante divertido y quería compartilo con vosotros. Algunos se preguntarán qué tendrá que ver esta entrada con las Matemáticas pero permitidme que no os responda y recomendaros que lo veáis primero...

Si os ha gustado os indico un enlace con una magnífica reseña del mismo y una entrevista con la directora.
Enlace: Reseña del corto "PIPAS"
 

El número e y la demostración por reducción al absurdo

En clase, al trabajar con logaritmos, vimos que aparecía el llamado logaritmo neperiano (que se escribe "Ln", o simplemente "L") Este logaritmo tiene como base el llamado número "e", número irracional bastante importante en Matemáticas. Como os prometí, os enlazo a un vídeo , perteneciente a una serie muy interesante que emitieron hace tiempo en televisión, donde se habla de dicho número y podréis conocerlo mejor.

Por otro lado, también surgió en clase uno de los métodos para demostrar algo: el método de reducción al absurdo. Básicamente consiste en suponer lo contrario de lo que queremos demostrar y, mediante deducciones, llegar a una contradicción o absurdo...concluyendo entonces que lo cierto es lo que precisamente queríamos demostrar al principio. Este método se aplica, por ejemplo, para demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.

Mirad el siguiente vídeo para entenderlo mejor:

Monólogo: "Un teorema es para siempre"

En Matemáticas, un teorema es una verdad que es demostrada a partir de unos axiomas (afirmaciones que se dan por ciertas y son indemostrables, es decir, se aceptan como ciertas como si de un "acto de fe" se tratase) El siguiente vídeo es un monólogo, al estilo del "Club de la Comedia", que ha permitido a un profesor de Matemáticas de la Universidad de La Rioja, Eduardo Sáenz de Cabezón, ganar el Famelab España 2013: ¿qué es Famelab? Pues es una iniciativa internacional cuyo objetivo es fomentar la divulgación científica a través de monólogos que versen sobre algún tema relacionado con la ciencia.

A mí me ha parecido divertido, ¿qué os parece?

Nature by numbers e Inspirations de Cristóbal Vila

Dos grandes trabajo donde, además de su estética, refleja en multitud de imágenes y símbolos grandes temas donde las Matemáticas juegan un papel relevante. Sería interesante visionarlos varias veces e ir anotando qué imágenes, símbolos o situaciones crees que guardan un contenido o tema matemático.

NATURE BY NUMBERS from Cristóbal Vila on Vimeo.
INSPIRATIONS from Cristóbal Vila on Vimeo.

Números grandes, números pequeños: la notación científica

Como ya sabéis, la notación científica es muy útil para expresar de una forma sencilla cantidades "grandes", entiéndase aquellas donde a partir de una cifra aparecen una cantidad de ceros respetable, o "pequeñas", en el sentido de ser cantidades bastantes cercanas a 0.

Os muestro un par de enlaces bastantes interesantes:

1. Potencias de diez.

Este es un clásico que apareció hace ya bastante tiempo y muestra a una familia en un día de campo. Las potencias de diez aparecen cuando nos "alejamos" o "acercamos" de ellos...

2. La escala del Universo.

Se trata de una aplicación interactiva desarrollada por Cary y Michael Huang donde se muestran objetos cuyos tamaños varían entre 10 ^-35 y 9´3.10 ²⁸ metros. La idea es ayudar a entender el tamaño del universo en relación con objetos que nos resulten más o menos familiares. Hay multitud de objetos y "pinchando" en ellos con el ratón  te encontrarás con explicaciones. Realmente merece la pena pinchar en el enlace siguiente, elegir el idioma que desees y dedicar unos minutos a ¡explorar e investigar!

Enlace: La escala del Universo