Investigación: ¿existe una función cuadrática que sea producto de dos funciones polinómicas de grado 1 que sean tangentes a su gráfica?

 El problema a investigar se podía enunciar así:

"¿Existen dos funciones polinómicas de grado 1, f y g, de forma que sus gráficas sean rectas tangentes a la gráfica de h(x)=f(x).g(x)?"

Sean f(x)=ax+b y g(x)=cx+d; a,c≠0 

f,g y h son derivables y f´(x)=a; g´(x)=c y h´(x)=a.g(x)+f(x).c

Si las gráficas de f y g son tangentes a la gráfica de h en los puntos x=α y x=β respectivamente, entonces:

h´(α)=f´(α)=a  y h(α)=f(α)  [1]       

h´(β)=g´(β)=c y h(β)=g(β) [2]

De [1] a.g(α)+f(α).c=a  y f(α).g(α)=f(α)  

Si f(α)≠0, como f(α).g(α)=f(α), entonces g(α)=1⇒ a+f(α).c=a ⇒ f(α).c=0 ⇒ f(α)=0 (ya que c≠0). Esto supone una contradicción, luego f(α)=0 [3]⇒ a.g(α)=a ⇒  g(α)=1  [4] (ya que a≠0)

En [2] se usa el mismo razonamiento y se deduce que g(β)=0  [5] y f(β)=1  [6]

De [3]  α es raíz del polinomio f y α=-b/a

De [4]  g(α)=g(-b/a)=c∙(-b/a)+d=1 ⇒ -cb+ad=a  [7]  

De [5]  β es raíz del polinomio g y β=-d/c

De [6]  f(β)=f(-d/c)=a∙(-d/c)+b=1 ⇒ -ad+cb=c  [8]  

[7]+[8]⇒ a+c=0⇒ c=-a  ⇒  ab+ad=a (por [7]) ⇒ b+d=1⇒ d=1-b

Respuesta:

Sí, siendo f(x)=ax+b; g(x)=-ax+1-b y h(x)=(ax+b)(-ax+1-b)=-a^2 x+a(1-2b)x+b(1-b)

Los puntos de tangencia de f y g con h son, respectivamente, x=-b/a y x=-d/c

En el siguiente applet de GeoGebra se podrán visualizar algunas soluciones:

Enlace: https://www.geogebra.org/m/k7ppsgty

¡Participamos en la Semana de la Programación de la Unión Europea 2023!

     Estudiantes de nuestro centro, del ámbito científico-tecnológico de la ESPA NII, participarán en octubre de 2023 en la "Semana de la Programación de la Unión Europea". Esta actividad es una iniciativa popular, organizada por voluntarios de los diversos países de la Unión Europea.

    Los objetivos principales de dicha actividad son:

• Promover el pensamiento computacional, la programación y las actividades relacionadas con la tecnología.
• Plasmar ideas gracias a la programación y hacer que esta sea más visible.
• Reunir a personas motivadas y aprender sobre nuestro mundo digital.

    En la actividad que pretendemos llevar a cabo en nuestro centro añadimos una introducción básica a la Inteligencia Artificial (IA), en particular usando ChatGPT.

    La idea es fomentar la integración de la innovación en los sistemas educativos, ofrecer a todos los estudiantes la posibilidad de dar sus primeros pasos como creadores digitales y también empoderar a los estudiantes y ayudarles a comprender mejor el mundo que les rodea.

    La actividad con la que pretendemos participar se denomina:

"Uso de ChatGPT y Python para el desarrollo del pensamiento crítico y computacional"

 

    El alumnado participante usaría ChatGPT como una especie de asistente para resolver problemas matemáticos de carácter aritmético. Desarrollarían habilidades de pensamiento crítico al plantearle preguntas, analizar el razonamiento de las respuestas que proporcione la IA y entender los conceptos detrás de las soluciones o respuestas. Además, podrían explorar cómo se pueden implementar algoritmos en Python para resolver alguno o parte de los problemas que planteen, elaborando previamente un algoritmo de resolución simple, solicitando a ChatGPT que lo codifique, probándolo, comprobando su eficacia y modificándolo, si es necesario, para que sea más eficiente.

Le daremos especial importancia al uso ético de la IA, mostrando, explicando y teniendo siempre presente el siguiente decálogo elaborado ad hoc:

Decálogo Ético para el Uso Responsable de ChatGPT y la Inteligencia Artificial en la Educación

1. Utiliza la IA como una herramienta de aprendizaje: La inteligencia artificial puede ser una excelente herramienta de apoyo en tu proceso educativo, pero no debe reemplazar el esfuerzo y la reflexión personal en el aprendizaje.

2. Valora el conocimiento humano: Reconoce que la IA es una creación humana y que el conocimiento y la sabiduría de tus profesores y compañeros son invaluables. No sustituyas el diálogo y la interacción humana por completo.

3. Verifica y cuestiona la información: La IA puede generar respuestas precisas, pero no siempre tiene en cuenta el contexto. Siempre verifica la información que obtengas y sé crítico al evaluar su calidad y relevancia.

4. Respeta la privacidad y los derechos de autor: No compartas información personal o confidencial a través de la IA, y respeta los derechos de autor al citar adecuadamente las fuentes de información que utilices.

5. No promuevas el odio ni el prejuicio: Evita utilizar la IA para difundir mensajes ofensivos, discriminatorios o perjudiciales hacia cualquier individuo o grupo.

6. Fomenta la creatividad y el pensamiento crítico: No te limites a utilizar la IA como una fuente de respuestas simples. Utilízala como una herramienta para explorar, aprender y desarrollar tus habilidades de pensamiento crítico y resolución de problemas.

7. Sé consciente del sesgo: Reconoce que los modelos de IA pueden tener sesgos inherentes. Trata de minimizar estos sesgos al usar la IA y busca diferentes perspectivas.

8. Mantén un equilibrio entre el mundo digital y el mundo real: No permitas que la IA domine tu vida. Dedica tiempo a actividades fuera de la pantalla y a relacionarte con otros de manera directa.

9. Colabora y comparte conocimientos: La IA puede facilitar la colaboración y el intercambio de información. Aprovecha esta oportunidad para aprender de tus compañeros y enseñar lo que sabes.

10. Actualízate constantemente: La tecnología avanza rápidamente. Mantente informado sobre los desarrollos en inteligencia artificial y adapta tu ética digital a medida que evoluciona la tecnología.

¡Esperamos con impaciencia y ganas el desarrollo de la actividad que promete ser muy interesante!

EVAU-PEVAU: examen resuelto de Matemáticas II de Navarra (convocatoria ordinaria, junio 2022)

 Siempre tengo por costumbre analizar, y en algunos casos resolver, los exámenes de la antigua "Selectividad" que proponen las diversas universidades en España. Al margen de curiosidades y sin intención de expresar mi opinión sobre el modelo y las diferencias entre comunidades autónomas, que la tengo, siempre me ha resultado interesante la propuesta de la Comunidad de Navarra. Este año me ha dado por resolver el examen completo de Matemáticas II, en la convocatoria ordinaria de junio, y aquí lo muestro por si hay alguien curioso que lo haya hecho o intentado hacer y quiera contrastarlo. Se agradecen las sugerencias y comentarios.

Ruta matemática por el Paseo Marítimo de Fuengirola

Como consecuencia de la participación en un MOOC internacional, dentro de un proyecto europeo denominado MaSCE³ (Math Trails in School, Curriculum and Educational Environments of Europe) , un grupo de alumnas del ámbito Científico-Tecnológico de la ESPA NII Semipresencial, durante el curso académico 2020-2021, participó en una ruta matemática, elaborada con la aplicación MathCityMap, que consistía en realizar un paseo donde tienen que realizar actividades matemáticas. En la siguiente presentación se cuenta y muestra la experiencia:

Transformaciones de la curva y=x² que permite obtener la gráfica de cualquier función cuadrática (y de propina cómo deducir la solución real, si existe, de cualquier ecuación cuadrática)

La idea de esta entrada es justificar que la gráfica de cualquier función cuadrática (f(x)=ax²+bx+c) se puede obtener mediante transformaciones de la gráfica de la curva y=x² (parábola básica de todos conocida). Cuando hablamos de transformaciones nos referimos a traslaciones horizontales o verticales, o bien dilataciones o contracciones, de la gráfica. Se entiende que consideramos funciones reales de variable real, así como parámetros reales.

Supongamos la función cuadrática:

$$f(x)=ax^{2}+bx+c,a\neq 0$$

Multiplicamos y dividimos entre $a$ para que el coeficiente de $x^2$ sea 1 y nos facilite los cálculos:

$$a\cdot \left( \dfrac{ax^{2}+bx+c}{a}\right) =a\cdot \left( x^{2}+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}\right)$$

Observamos que $x^{2}+\dfrac{b}{a}x$ "casi" es el cuadrado de una suma, la de $\left( x^{2}+\dfrac{b}{2a}\right) ^{2}$, ya que:

$$\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^{2}=x^{2}+2x.\frac{b}{2a}+\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$

Únicamente faltaría el término $\frac{b^{2}}{4a^{2}}$, pero podemos hacer que aparezca fácilmente sumando y restando dicho término en la expresión que hay dentro del paréntesis (leer nota al final *):

$$a\left (x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}  \right )=a\left ( x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right )=a\left [ \left (x+\frac{b}{2a}  \right )^{2}+\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}} \right ]$$

Si llamamos $k=\frac{b}{2a}$ y $h=\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}$, hemos demostrado que cualquier polinomio de grado 2, $ax^{2}+bx+c$, se puede expresar de la forma:

$$f(x)=ax^{2}+bx+c=a(x+k)^{2}+h$$

Se puede observar que cualquier función cuadrática se puede expresar como una combinación de transformaciones de la función cuadrática base $y=x^{2}$:

$k$ indica una traslación horizontal hacia la derecha ($k<0$) o la izquierda ($k>0$)

$h$ una traslación vertical hacia arriba ($h>0$) o hacia abajo ($h<0$)

$a>0$ sería una dilatación ($0<a<1$) o contracción ($a>1$).

En el caso de que $a<0$, entonces $-a>0$ y únicamente hay que recordar que $-f(x)$ es una simetría respecto el eje de abscisas de $f(x)$.

Ejemplo:

Se puede comprobar con una situación real como puede ser el lanzamiento a canasta que se simula en el siguiente enlace realizado en Geogebra.

Transformación de funciones (ejemplo con modelización)

Nótese que, en el caso del lanzamiento, la resolución de la ecuación cuadrática $f(x)=0$ proporcionaría la distancia desde el lanzamiento del balón cuando éste toca el suelo (habría otra solución de la ecuación que, en este caso, por motivos obvios, no tendría sentido en el contexto del problema y el significado de la variable x).

(*) Esta técnica se denomina “completar el cuadrado”, que también es muy útil para resolver ecuaciones cuadráticas completas ya que:

$$ax^{2}+bx+c=0, a\neq 0\rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

Por comodidad expresamos la ecuación cuadrática de forma que el coeficiente de $x^2$ sea 1. Ahora completamos el cuadrado en $x^2+\frac{b}{a}x$ . Para ello, y teniendo en cuenta que $$\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^{2}=x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{b^{2}}{4a^{2}}$$, únicamente  tendremos que hacer lo que ya hicimos en otra ocasión, sumar y restar $\frac{b^{2}}{4a^{2}}$. Así pues:

$$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\rightarrow x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4a^{2}}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=0\rightarrow \left (x+\frac{b}{2a} \right )^{2}+\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=0$$

Ahora agrupamos $\frac{c}{a}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}=\frac{4ac-b^{2}}{4a^{2}}=-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$ y aislamos $\left (x+\frac{b}{2a}  \right )^{2}=\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}$.

Teniendo en cuenta que $4a^2>0$, si $b^2-4ac>0$ tendremos dos soluciones reales:

$$x+\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

$$x+\frac{b}{a}=-\sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=-\frac{\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

A $b^2-4ac$ se le suele llamar "discriminante" de la ecuación de segundo grado y se suele representar con el símbolo $\Delta$. Nótese que conocer el signo del discriminante permitirá saber con antelación si la ecuación  va a tener solución real o no y cuántas si la respuesta es afirmativa:

Si $b^2-4ac>0$, hay dos soluciones reales como hemos visto antes: despejando $x$ de las expresiones anteriores obtenemos la "fórmula" de todos conocida:

$$x=-\frac{b}{a}\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

Si $4a^2<0$, no hay solución real alguna (la raíz cuadrada de un nº negativo no es real).

Si $4a^2=0$, sólo hay una solución real: $x=-\frac{b}{a}$

Ejemplo 1:

$x^{2}+4x=13\rightarrow x^{2}+4x-13=0\to x^{2}+4x+4-4-13=0\to (x+2)^2-17=0\to$

$\to (x+2)^2=17\to x+2=\pm \sqrt{17}\to x=-2\pm \sqrt{17}$

Si previamente se hubiese calculado el discriminante ($\Delta=4^2-4.(-13)>0$) se sabría de antemano que la ecuación posee dos soluciones reales.

Ejemplo 2:

$$3x^{2}+6x-5=0\to x^{2}+2x-\frac{5}{3}=0\to x^{2}+2x+1-1-\frac{5}{3}=0\to$$

$$\to(x+1)^2=\frac{8}{3}\to x+1=\pm \sqrt{\frac{8}{3}}=\pm \frac{2\sqrt{6}}{3}\to x=-1\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{-3\pm2\sqrt{6} }{3}$$

Combinatoria y Probabilidad: trabajo de investigación (2ª evaluación)

Continuando con la dinámica de la materia optativa de Estadística en 2º de Bachillerato, en esta segunda evaluación les propuse unas pequeñas investigaciones relacionadas con la combinatoria y la probabilidad. En este caso opté por "gamificar" con una propuesta a cada uno de los grupos usando una plantilla de Genially.

La idea era sencilla, proponerles cinco misiones, ubicadas en cada una en los respectivos cinco continentes y apoyándome en situaciones o historias contextualizadas.

En cada una de mas misiones tenían que utilizar sus conocimientos sobre combinatoria (primera misión) y probabilidad (resto de misiones). En cada misión se les ponía en situación y se les hacía preguntas, con diversas opciones de respuesta. Si no acertaba se le ofrecía una pista que, previsiblemente, les permitía corregir el error y seguir avanzando. 

El orden en cada misión no era relevante, pero sí el código que obtenían en cada misión, una vez resuelta, ya que dicho código ordenado les permitía abrir una caja fuerte donde podían leer un último mensaje y una acción que tenía que realizar el representante de cada grupo.

Todos los grupos terminaron con éxito las cinco misiones, usando más o menos pistas según los errores que iban cometiendo.

La experiencia resultó gratificante, distinta y divertida, esa era la excusa para usar una tarea de gamificación pero, la idea auténtica era captar su atención para conseguir una implicación y motivación para afrontar unas situaciones de aprendizaje donde cada grupo tenía que debatir, reflexionar, analizar críticamente la información y actuar, tomando decisiones sobre la base de unos conocimientos, procedimientos y técnicas en combinatoria y probabilidad.

Al final, debían elaborar una presentación como apoyo a una defensa oral de cómo han resuelto cada una de las misiones.

La propuesta se les presentó a través de la siguiente presentación:

A continuación muestro una de las presentaciones de apoyo a la defensa oral que hico uno de los grupos, llamado "Panatic". Evidentemente falta la parte oral, en mi opinión el complemento ideal, pero algo es algo.

Estadística descriptiva: trabajo de investigación (1ª evaluación)

Durante este curso académico 2018-2019, en la optativa de Estadística de 2º de Bachillerato, he considerado oportuno y relevante que el alumnado, en grupos colaborativos, realizasen una humilde investigación donde tuviesen que aplicar parte de lo trabajado, analizado y estudiado en relación a contenidos relativos a la Estadística Descriptiva (variables estadísticas unidimensionales y bidimensionales).

Previa explicación del trabajo que tenían que realizar, además de una parte práctica en el aula de informática donde les he mostrado algunos aspectos básicos del programa Geogebra, han tenido tiempo suficiente para ir desarrollando el trabajo que, previo a la exposición oral y defensa del mismo, tenían que elaborar una presentación como apoyo a la misma.

Tanto el trabajo como la exposición oral y defensa del mismo han sido evaluados con rúbricas.

El esquema para el desarrollo y elaboración del trabajo se les mostró previamente:

El trabajo en sí consistía en un par de supuestos reales (el segundo sí que lo es), donde tenían que responder a unas preguntas:

Investigación 1

Supongamos una situación real hipotética, el dueño de una panadería está preocupado porque sospecha que las barras de pan que vende tienen un peso demasiado variable, de forma que algunas pueden estar incluso por debajo de los límites que marca la ley. Se utilizan dos máquinas para hacer pan y también trabajan dos operarios, unos días hace el pan uno y otros días, el otro. La siguiente tabla contiene los pesos (en gramos) de una muestra de barras de pan que se han ido recogiendo durante 20 días.

El peso debe ser de 220 ± 10 gramos y supondremos que estos datos son representativos de la producción general. Las preguntas que se plantean, para dar respuesta a la preocupación del dueño, son: ¿existe algún problema? Si es así, ¿qué está ocurriendo? ¿qué hay que hacer para resolver el problema?

Para intentar responder a las inquietudes del dueño, llevaréis a cabo una pequeña investigación usando vuestros conocimientos estadísticos hasta ahora. Para ello…

Organización de los datos y análisis de los mismos, preguntas que se podrían responder:

• ·       Representar gráficamente, usando un par de  gráficos adecuados, todos los datos. Se hace necesario, previamente, agrupar los mismos en una tabla de frecuencias. ¿Está justificada la preocupación del dueño de la panadería?

• ·   A raíz de lo analizado anteriormente, procedemos a “estratificar” la investigación analizando por un lado las mediciones de los dos operarios y, por otro lado, las mediciones en cada una de las máquinas.

En ambos casos habría que proceder como en el apartado anterior para poder extraer, si es posible, conclusiones claras que permitan finalizar la investigación. Por ejemplo: ¿Los operarios se han comportado igual? ¿Y las máquinas?

Investigación 2

Se quiere llevar a cabo un estudio sobre la relación entre la tasa de paro y de abandono escolar temprano en algunos países de la Unión Europea. Cuando hablamos de tasa de paro nos referimos al % de desempleo dentro de la población activa, y cuando se habla de abandono escolar temprano nos referimos a los habitantes, de entre 18 y 24 años, que finalizan su etapa escolar sin obtener el título de la ESO.

La investigación consistirá en determinar si existe relación entre la tasa de paro y de abandono escolar entre los países de la Unión Europea. Se toman como datos para el estudio los resultados de los países: España, Italia, Polonia, Irlanda, Holanda, Bélgica, Reino Unido, Francia, Portugal y Austria.

Posteriormente, después del análisis anterior:

• Estima la tasa de abandono escolar en Alemania sabiendo que su tasa de paro media en 2017  fue del 3,8 %.
• Estima la tasa de paro de Dinamarca sabiendo que su tasa de abandono escolar en 2017 fue del 8,8 %.

Analiza la fiabilidad de las estimaciones.

Tasa de desempleo en algunos países europeos durante el año 2017

País	%
Bélgica	7,1
Irlanda	6,7
España	17,2
Francia	9,4
Italia	11,2
Holanda	4,9
Austria	5,5
Polonia	4,9
Portugal	9,0
Reino Unido	4,4

Abandono escolar temprano

País/Año	%
Bélgica	8,9
Irlanda	5,1
España	18,3
Francia	8,9
Italia	14,0
Holanda	7,1
Austria	7,4
Polonia	5,0
Portugal	12,6
Reino Unido	10,6

Fuente: Eurostat (Oficina Europea de Estadística)

Enlace: https://ec.europa.eu/eurostat

A continuación un ejemplo de presentación elaborada por uno de los grupos de nombre, muy apropiado por cierto, "Florence Nightingale":