Toma una calculadora que permita calcular raíces cuadradas, no hace falta que sea científica. Ahora escribe un número positivo cualquiera y calcula su raíz cuadrada. Al valor obtenido le calculas también su raíz cuadrada...así sucesivamente con el nuevo número obtenido (a este proceso es a lo que llamo "raíces cuadradas sucesivas de un número positivo").
Usando el lenguaje matemático te pido que:
Nota: los puntos suspensivos dentro de la expresión viene a indicar que realizamos la raíz cuadrada sucesiva una cantidad de veces n. Por ejemplo, si realizo n=3 veces sucesivas la raíz cuadrada de 5 lo escribiría así:
Te propongo unas preguntas:
1. Llegará un momento en que observarás algo "curioso" y, seguramente, probarás con otro número positivo para comprobar si ocurre lo mismo. ¿Podrías expresar qué has observado?
Para los que estáis en Bachillerato, lo que realmente os estoy preguntando es si existe, y es finito, el siguiente límite:
(siendo x>0)
2. ¿Cómo es posible que después de calcular una cantidad "finita" de raíces cuadradas sucesivas de un número positivo llega un momento que en la pantalla aparece sólo el 1?
3. ¿El valor al que siempre se llega en la pantalla es exactamente 1 o una aproximación cada vez más cercana por defecto o por exceso?
Espero vuestras respuestas, y ya sabéis, ¡razonadas!
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