Integrales trigonométricas: cambio de variable general

Las integrales trigonométricas son particularmente “difíciles” por la casuística que hay que tener en cuenta. Sin entrar en detalles de los cambios de variable, según casos fácilmente detectables, y los “trucos” que algunas veces se utilizan para convertir una integral trigonométrica en otra asequible, existe un cambio general de variable que permite SIEMPRE convertir una integral trigonométrica en una racional. Este cambio sólo se aconseja en casos de desesperación, es decir, cuando se han agotado otras vías o nos es imposible detectar la estrategia a seguir para conseguir resolver la integral de una forma más sencilla.

El cambio de variable es t=tg(x/2), del cual se deduce que:

La justificación de las igualdades anteriores no son evidentes.

En el siguiente enlace se encuentran las explicaciones y el desarrollo completo de algunos ejemplos seleccionados.

Editor de ecuaciones online útil para insertar en un correo electrónico

De todos es conocidos el editor de ecuaciones de Word o, si usamos Open Office o Libre Office, el insertar una ecuación en un documento de texto. A veces tenemos que hacer lo mismo on line. Para ello existen varios editores de ecuaciones online y MathCast es uno de ellos. Se trata de un editor de ecuaciones, concretamente una aplicación que permite introducir, de forma sencilla con un poco de práctica, fórmulas y símbolos matemáticos. Estas expresiones se pueden utilizar en documentos escritos y páginas web. MathCast es una aplicación gratuita y de código abierto.

Enlace: atomurl.net/math/

Uso: A veces escribimos un correo electrónico y nos resulta imposible insertar un símbolo o expresión matemática (a menos que lo hagamos como si fuera una imagen y lo insertemos). Ahora es más cómodo si lo que queremos hacer, por ejemplo, en un correo de Gmail. Si escribimos la expresión en el editor MathCast, después sólo tenemos que dirigirnos a "Direct Link" para copiar la dirección web y, posteriormente, insertar la imagen en el correo usando la opción de pegar la url anterior. Aparecerá la expresión matemática en la ventana donde estáis redactando el correo electrónico y podéis seguir escribiendo, insertando otra y luego enviar el mismo. Aunque no es imprescindible, está la opción de pinchar en "Make short link" para obtener dicho enlace pero más "corto".

Raíces cuadradas sucesivas de un número positivo

Toma una calculadora que permita calcular raíces cuadradas, no hace falta que sea científica. Ahora escribe un número positivo cualquiera y calcula su raíz cuadrada. Al valor obtenido le calculas también su raíz cuadrada...así sucesivamente con el nuevo número obtenido (a este proceso es a lo que llamo "raíces cuadradas sucesivas de un número positivo").

Usando el lenguaje matemático te pido que:

Nota: los puntos suspensivos dentro de la expresión viene a indicar que realizamos la raíz cuadrada sucesiva una cantidad de veces n. Por ejemplo, si realizo n=3 veces sucesivas la raíz cuadrada de 5 lo escribiría así:

Te propongo unas preguntas:

1. Llegará un momento en que observarás algo "curioso" y, seguramente, probarás con otro número positivo para comprobar si ocurre lo mismo. ¿Podrías expresar qué has observado?

Para los que estáis en Bachillerato, lo que realmente os estoy preguntando es si existe, y es finito, el siguiente límite:

(siendo x>0)

2. ¿Cómo es posible que después de calcular una cantidad "finita" de raíces cuadradas sucesivas de un número positivo llega un momento que en la pantalla aparece sólo el 1?

3. ¿El valor al que siempre se llega en la pantalla es exactamente 1 o una aproximación cada vez más cercana por defecto o por exceso?

Espero vuestras respuestas, y ya sabéis, ¡razonadas!