¿Cuánto mide la costa de Andalucía? Introducción y una aplicación práctica de la geometría fractal

El pasado 13 de mayo tuvo lugar en el Palacio de Congresos "Adolfo Suárez" de Marbella el VIII Encuentro de Experiencias de Investigación del Alumnado en el Aula, organizado por el Centro del Profesorado Marbella-Coín, en el que varios grupos de alumnos y alumnas de diversos IES de Andalucía expusieron, como si de un congreso se tratase, algunos trabajos de investigación científica que han llevado a cabo durante este curso académico. 

En dicho Encuentro, un grupo de alumnos de 2º de Bachillerato del IES Fuengirola nº 1, Álvaro Blanca Hoyos, Abdeslam Bounaaja,  Juan Manuel del Valle Blanco y María Díaz Expósito, defendieron y expusieron un trabajo que consistía en una aplicación práctica de la geometría fractal. 

De izquierda a derecha: Abdeslam, Juan Manuel, Álvaro, María y  Nicolás (profesor-coordinador)

El problema de investigación surgió a la hora de intentar responder a la siguiente pregunta: ¿cuál es la longitud del litoral andaluz?

Se obtuvieron diversas respuestas: 945 km , 1101 km, 800 km y 910 km, obtenidas de diversos organismos o instituciones "oficiales" como el Instituto Nacional de Estadística, la Junta de Andalucía (a través de la Consejería de Medio Ambiente que toma como fuente de información el Instituto de Estadística y Cartografía de Andalucía) y el Instituto Geográfico Nacional.

Esta diferencia fue lo que nos llevó a preguntarnos porqué ocurría eso, añadiendo el hecho de que en ninguna se ofrecía explicación alguna de cómo se había obtenido dicha longitud.

Nuestro trabajo de investigación iba a centrarse en intentar dar respuesta a la pregunta principal, analizando el porqué de la disparidad de datos obtenidos y, por último, dar una respuesta razonada, basándonos en teorías e investigaciones previas y usando métodos adecuados para ello (método de Richardson y método box-counting), introduciendo para ello la geometría fractal como geometría válida para interpretar y analizar objetos de la naturaleza, en detrimento de la geometría clásica euclidiana que resultaba insuficiente para responder a nuestra pregunta.

El resultado de este trabajo se plasmó en un póster (pincha en él para ampliar):

En plena exposición y defensa del proyecto

Al final elaboramos una página web con una información muy detallada del proyecto.

Enlace: http://fractaliesf1.wix.com/costa-andalucia

Por último, comentar que la experiencia fue muy agradable y única. Tuvimos la oportunidad de poder comunicar nuestra investigación, así como intercambiar experiencias y conocer el trabajo realizado por otros compañeros de diversos centros educativos.

¿√4=±2?

En más de una ocasión he escuchado o leído de un alumno que, por ejemplo, √4=±2. Yo suelo entonces preguntarle qué observa en un número, al escribirlo o nombrarlo, cuando éste es negativo (menor que 0). La respuesta es que aparece un "menos" delante, es decir, que por ejemplo -3 (leído "menos tres") es un número negativo porque lleva el signo "-" delante del 3. También les suelo preguntar si √2 es un número negativo o positivo (mayor que 0). Inmediatamente se dan cuenta de que √4 es un número positivo y, aunque no lo suelen decir, entran en shock cuando previamente vuelven a pensar en lo que respondieron anteriormente. Recuerdo, cuando estudiaba el primer año de carrera, que fue a un profesor cuando por primera vez le vi escribir en la pizarra que:

Nada más simple, y al mismo tiempo más claro. Ahora, sin lugar a dudas, se resuelven todas las posibles casuísticas que se presenten. A saber, y a modo de ejemplo:

Evitando los errores como: 

O bien:

Aludiendo a la archiconocida frase "el cuadrado con la raíz se va".

Yo me pregunté, hace tiempo, el por qué de este error tan común. Creo que la explicación puede ser doble: 

1) Por un lado, la tendencia memorística del alumnado a la hora de llevar a cabo un procedimeinto pero sin esa "alerta permanente" que les permita estar atentos a si tiene o no sentido lo que van haciendo y obteniendo.

2) Por otro lado, el uso de la técnica de la "comparación" pero sin extrapolar el contexto o el significado de lo que se está haciendo en cada caso. Me explico: no es raro que cuando resuelven alguna ecuación les aparezca, por ejemplo:

A partir de la cual, escriben inmediatamente:

Ciertamente, es correcto que hay dos soluciones pero NO porque √25=±5 sino porque si  x=5 cumple la ecuación, entonces x=-5 también ya que (-5)²=25. Por eso prefiero, llegado a la expresión x²=25, continuar x=√25=5 y, a continuación, razonar la otra posibilidad como antes se ha hecho.

Investigando en 1º de Bachillerato: "El inconmensurable π y el método de «exhaución»"

Aunque un poco precipitadamente, dada la premura de tiempo, un grupo de alumnos de 1º de Bachillerato, Álvaro Blanca, Abdeslam Bounaaja,  Juan Manuel del Valle y María Díaz, tuvieron la oportunidad de poder realizar una investigación en Matemáticas. Los objetivos eran simples: por un lado, y con la excusa de un proyecto de investigación, observar la conexión entre diferentes contenidos trabajados durante este curso académico (álgebra, número complejos, trigonometría, geometría y análisis; por otro lado, el poder participar en el VII Encuentro de Experiencias de Investigación del Alumnado en el Aula.

En este Encuentro, los alumnos han tenido la oportunidad de no sólo exponer su trabajo sino también de conocer las investigaciones de otros compañeros y compañeras de diversos centros de Andalucía. La verdad es que ha sido toda una experiencia.

De izquierda a derecha: María, Nicolás (profesor-coordinador), Álvaro, Juan Manuel y Abdeslam

El tema de la investigación partió del descubrimiento de los números irracionales (inconmensurables) por parte de los "Pitagóricos" allá por el s. V. a. C. Esto supuso una auténtica "crisis" en la época ya que por aquel entonces se creía que toda magnitud era finita y se podía expresar mediante una razón o proporción entre números enteros. Durante el s. IV a. C., Eudoxo de Cnido, un destacado miembro de la Academia de Platón, dio una solución aceptable a la crisis ideando “La teoría de las proporciones” y el llamado método de “exhaución”. La idea principal surge de que "toda magnitud finita puede ser agotada mediante la substracción de una cantidad determinada".

Si queremos conocer la longitud de una circunferencia, o el área de un círculo, podemos aproximarnos “tanto como queramos” a dichas magnitudes a partir de polígonos regulares inscritos, o circunscritos, a la circunferencia.

Arquímedes de Siracusa (s. III a.C.), usando la idea de Eudoxo y la ya conocida obra de Euclides, “Elementos de Geometría”, consiguió una aproximación del número  muy aceptable. Estamos hablando de una época donde no se conocía el Álgebra y  se carecía de una notación adecuada como la que actualmente existe y usamos con naturalidad.

Dicho método de aproximación se puede considerar el germen del concepto de “límite”, lo que posteriormente sería el cálculo infinitesimal [del que tanto Isaac Newton (1642-1727) como Gottfried W. Leibniz (1646-1716) son considerados los creadores]. Más adelante permitió el desarrollo del cálculo integral que, entre otras aplicaciones, permite el cálculo de áreas de figuras planas y la longitud de una curva.

El presente trabajo de investigación pretende, partiendo de la idea de Eudoxo y su método de “exhaución”, conseguir el valor exacto del área del círculo y la longitud de una circunferencia usado la notación, contenidos y procedimientos actuales, en particular el paso al “límite” de la sucesión de los perímetros o áreas de polígonos regulares cuando aumenta el número de lados de forma indefinida.

El resultado de este trabajo se plasmó en un póster:

Se puede ver el póster en el siguiente enlace: Póster de la investigación

Se creó una página web con una información más detallada del proyecto.

Enlace: http://eudoxo-iesf1.wikispaces.com/

La fórmula de Herón y un par de retos trigonométricos

Hemos estado trabajando la trigonometría y, aunque no la hemos trabajado en clase, es curiosa una relación entre los lados de cualquier triángulo y su área conocida como la fórmula de Herón.

Sería interesante que analizaseis su origen, demostración y utilidad (al final de la entrada proporciono un enlace) Para que podáis ver diversas situaciones donde se puede aplicar, os propongo un par de retos.

Reto 1

Supongamos una parcela cuyas medidas vienen representadas en el siguiente plano hecho a escala:

¿Podrías calcular la superficie de la parcela?

Reto 2

Éste es un problema procedente de italia (siglo XV)

Un círculo con un diámetro de 4 unidades está inscrito en un triángulo. Un punto de tangencia del círculo con el lado del triángulo divide este lado en longitudes de 6 y 8 unidades. ¿Cuáles son las longitudes de los otros dos lados del triángulo?

Como podéis imaginar, los dos problemas se podrían resolver de distintas formas. En cualquier caso es recomendable que te ayudes de un dibujo que ilustre la situación.

Enlace: Fórmula de Herón (Wikipedia)

Derivada e integral de una función

WolframAlpha es un "buscador de respuestas" y entre sus usos principales está el que te permite obtener respuesta estructurada a determinadas cuestiones relacionadas con las Matemáticas. Por ejemplo, y dentro del tema que nos ocupa, podemos usarlo para calcular la función derivada o la primitiva (integral indefinida) de una función.

Elegimos la opción "Derivar" o "Integrar" y, a continuación, introducimos la expresión analítica de la función. Hay que tener en cuenta determinados detalles, por ejemplo, para expresar una potencia escribimos "^", para expresar el logaritmo neperiano "log" y "sin(x)" para el senx.
Otros caracteres especiales:

*     multiplicación
/     división
^    potencia

exp(  )     para expresar el número "e" elevado a lo hay entre paréntesis

sqrt( )      para expresar la raíz cuadrada de lo que hay entere paréntesis

log(x)      representa el logaritmo neperiano de x

Como ejemplo, elegimos la opción "Integrar" e introduzco la expresión "2x-4", la respuesta que nos proporciona es:

Como se puede observar, obtenemos por un lado la función primitiva pero sin simplificar. El resultado simplificado es:

Por otro lado, también nos proporciona la gráfica de la función primitiva, en este caso una función cuadrática, con dos escalas distintas (en este caso, es evidente que nos resulta mejor la primera gráfica).

Resulta interesante esta herramienta.

Para más información:

Wolfram Alpha en español

Transformación de una función

Un aspecto importante en el estudio de funciones es la representación gráfica de la misma. Comenzamos estudiando las llamadas "funciones elementales" (que las clasificamos por "familias", así estudiamos las funciones polinómicas, racionales, radicales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc., siendo las más sencilla de todas la función constante)

También hemos hablado de la función más "artificial" de todas, la función a trozos, que no es más que una función construida a partir de cualquiera de las anteriores pero definida en diversos intervalos) 

Las funciones elementales nos va a permitir conocer, con posterioridad, otro tipo de funciones más "difíciles" pero que tienen similares características que las "elementales".

En muchas ocasiones, si conocemos la gráfica de alguna función podemos obtener fácilmente la gráfica de otra, de la misma familia, pero donde observamos ligeras modificaciones. Concretamente, si conocemos la gráfica de una función y=f(x), podemos obtener fácilmente la gráfica de las siguientes funciones (k es una constante cualquiera):

f(x±k), f(x)±k, f(-x), -f(x)

Por ejemplo, conocemos la gráfica de la función:

A partir de ella podremos representar fácilmente la gráfica de las funciones:

Las dos primeras transformaciones suponen una traslación horizontal y vertical, respectivamente, de la función original.

Las dos últimas transformaciones representan la gráfica simétrica de nuestra función original respecto al eje Y y eje X respectivamente.

Ni que decir tiene que podemos realizar combinaciones de las distintas transformaciones, como por ejemplo, realizar una traslación horizontal a la derecha de 3 unidades y luego una simetría respecto el eje X, obteniendo entonces la función:

Y cuya representación gráfica sería:

También podríamos hacer dilataciones y contracciones en la gráfica de una función, para poder entender mejor en qué consisten dichas transformaciones es mejor que uséis el siguiente applet realizado con Geogebra (introduce la función de entrada que quieras y prueba con las distintas transformaciones que aparecen)

Enlace a applet de Geogebra: Transformación de funciones 
(necesario que tengas Java instalado en tu ordenador)

Por último, el siguiente vídeo es muy ilustrativo ya que proporcione múltiples ejemplos:

Trigonometría: ¿cuántas razones trigonométricas hay?

Hoy en clase hemos hablado de otras razones trigonométricas de un ángulo, además de las ya conocidas, seno, coseno y tangente. Como habéis preguntado si existen otras y, además, si se pueden "visualizar" gráficamente, os indico un enlace a una entrada de un magnífico blog, llamado gaussianos.com, donde se responde claramente a ambas preguntas.

El enlace es: ¿Cuántas razones trigonométricas "existen"?

PD: En el anterior enlace muestra gráficamente, entre otras, la razón trigonométrica de la tangente de un ángulo. Quizás os parezca distinta a la que yo os mostré en clase pero si lo pensáis es exactamente lo mismo.