Trigonometría: ¿cuántas razones trigonométricas hay?

Hoy en clase hemos hablado de otras razones trigonométricas de un ángulo, además de las ya conocidas, seno, coseno y tangente. Como habéis preguntado si existen otras y, además, si se pueden "visualizar" gráficamente, os indico un enlace a una entrada de un magnífico blog, llamado gaussianos.com, donde se responde claramente a ambas preguntas.

El enlace es: ¿Cuántas razones trigonométricas "existen"?

PD: En el anterior enlace muestra gráficamente, entre otras, la razón trigonométrica de la tangente de un ángulo. Quizás os parezca distinta a la que yo os mostré en clase pero si lo pensáis es exactamente lo mismo.

Derivada de una función: teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange

Llevamos un tiempo, durante este primer trimestre, estudiando la función derivada de funciones reales y, más concretamente, sus usos y aplicaciones más relevantes: estudio de la monotonía (intervalos de crecimiento-decrecimiento), búsqueda de extremos (máximos-mínimos), estudio de la curvatura (intervalos de concavidad-convexidad), puntos de inflexión, rectas tangentes a la gráfica, problemas de optimización, etc.

El concepto de derivada de una función en un punto y, por tanto, el hecho de que una función sea derivable en un intervalo, es una propiedad muy potente que nos ha permitido analizar y obtener múltiples características de la misma muy útiles, no sólo porque así conocemos mejor a la función, sino porque dichas informaciones nos permite responder a pregunta cuya respuesta inicial no es evidente.

Hay un par de resultados importantes que no hemos visto en clase y son dignos de mencionar, los teoremas denominados teorema de Rolle y teorema del valor medio o de Lagrange.

En el siguiente enlace podréis acceder a un documento que he elaborado y que habla de ambos, espero que os resulte interesante.

Enlace: Teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange.

La lata nos da "la lata"

A raíz de un problema de optimización visto en clase, os propuse uno relacionado con las latas de refrescos u de otro tipo de productos (pero que sean cilíndricas). Actualmente podemos encontrar latas con diversas alturas y, en el caso de los refrescos, normalmente suelen tener un volumen de 33 cl=330 ml.

El reto consiste en determinar qué dimensiones debe tener una lata cilíndrica (radio de la base y altura) para que, con un volumen constante de 33 cl, la superficie total sea mínima.

Intentad plantearlo y resolverlo, para poder contrastar vuestro trabajo os indico el enlace con el desarrollo que he realizado del mismo.

Enlace: Resolución del reto (La lata nos da "la lata")

Un problema de clase

Ayer surgió un "problema" en clase cuyo enunciado es:

Un automóvil sube las cuestas a 54 Km/h, las baja a 90 Km/h y en llano marcha a 80 Km/h. Para ir de A a B tarda 2 horas y 30 minutos, y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cuál es la longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan 192 kilómetros?

Vamos a comenzar a pensar...

Fase 1: Entender el enunciado

Vamos a suponer que primero hay un ascenso, luego un descenso y el trayecto final es llano. También es necesario suponer que la velocidad, en cada tramo, es constante (es decir, consideramos que el movimiento es rectilíneo uniforme)

Las anteriores afirmaciones deberían haber estado en el enunciado, ya que una de las cualidades que debe tener el enunciado de un problema es que sea claro y sin ambigüedades.

Datos:

Velocidad en ascenso= 54 km/h

Velocidad en descenso= 90 km/h

Velocidad en llano= 80 km/h

Tiempo en ir desde A hasta B= 2 h 30 m=2,5 horas

Tiempo en ir desde B hasta A= 2 h 38 min≈2,63 horas

Distancia entre A y B=192 km

Fase 2: Buscar relaciones

Obtenemos un sistema de ecuaciones lineales (3 ecuaciones y 3 incógnitas, aunque a nosotros sólo nos interesa una)

Fase 3: Resolver

Si usamos, entre otros, Wiris (programa de cálculo matemático) obtenemos:

Fase 4: Interpretar

(Además hemos obtenido la longitud de los otros tramos)

Enlace a Wiris on line en Andalucía:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/wiris/es/index.html‎

Raíces de un polinomio y las relaciones de Cardano-Vieta

Para saber más:

Polinomios y las relaciones de Cardano-Vieta [PDF]

Esquema algebraico

Estamos trabajando el álgebra, "manejando" expresiones algebraicas que nos permita resolver determinadas situaciones donde, en la mayoría de los casos, se nos plantea resolver una determinada ecuación, inecuación o sistema de ecuaciones o inecuaciones. Existen técnicas para resolverlas, algunas incluso son válidas para distintos casos. Os voy a proporcionar un esquema que, en parte, os permita ver las relaciones entre ellas con algunas consideraciones a tener en cuenta, especialmente con la parte más "difícil" como es la resolución de problemas (que es la parte que realmente da sentido a este bloque ya que muestran la utilidad, en contextos más o menos reales, de lo que estamos analizando e intentando comprender)

Enlace para visualizarlo a mayor tamaño o descargarlo: esquema

La belleza de las Matemáticas

Las matemáticas, vistas correctamente, poseen no sólo la verdad, sino la belleza suprema, una belleza fría y austera, sin los adornos magníficos de la pintura o la música.

Bertrand Russell

La cita anterior aparece al principio del siguiente vídeo y es una más para intentar describir la belleza de la Matemáticas.

Salvo en la cita del principio, en todo el vídeo la pantalla se divide en tres partes:

- la parte de la derecha muestra escenas familiares de la vida real,

- la parte central representa la modelización gráfica de dichas escenas,

- la parte de la izquierda representa las fórmulas (ecuaciones) matemáticas que describen dicha modelización y, por tanto, representarían los fenómenos que se ven a la derecha.

Ciertamente las Matemáticas están presentes a nuestro alrededor aunque no nos demos cuenta.

Espero que os guste (merece la pena verlo a pantalla completa), a mí me ha encantado.

Operaciones con expresiones infinitas (que pueden aparecer en el cálculo de límites)

El matemático indio Brahmagupta (siglo VII), considerando k no nulo y a propósito de una expresión del  tipo   

decía:

“(..) Cuanto más disminuye el divisor, tanto mayor será el cociente. Si el divisor se hace extremadamente pequeño, el cociente se hace extremadamente grande.”

Pero mientras pueda decirse que es de tal o tal otra magnitud, todavía no se ha llegado a la magnitud extrema, pues siempre puede darse un número mayor que él. El cociente, por lo tanto (cuando el divisor se reduce al mínimo posible, es decir, a cero), se hace indefiniblemente grande y puede llamarse, con razón, infinito.”

Aunque habría ya que discutir qué ocurre si k>0, o si k<0, y si los "extremadamente pequeño" se refiere a números cercanos a 0 positivos o negativos, es esta la forma de razonar que te sugiero (“si el divisor se hace extremadamente pequeño, el cociente se hace extremadamente grande”). De una forma similar se podría razonar en multitud de límites que te vas a encontrar. PIENSA y RAZONA cuál será el valor final del límite (la mayoría de las veces es más fácil de lo que te imaginas) .Ayúdate de la calculadora cuando lo necesites, pero llega a convicciones claras.

 A continuación aparecen algunos resultados de operar con límites de funciones en los que aparece “infinito”. NO TRATES DE MEMORIZARLOS sino de entenderlos. Mira bien cada uno de ellos, haz algunas pruebas, ponte algunos ejemplos y acaba viéndolos tan razonables que los recordarás cuando te los encuentres.

Hay veces que cuando se intenta calcular el límite de una función, resulta que no podemos saber con exactitud cuál es el valor de dicho límite. Esos casos son llamados INDETERMINACIONES y habría que realizar un estudio más profundo o utilizar algunas técnicas concretas (según el caso) para poder determinar dicho límite, pues cuando aparece una indeterminación puede ocurrir cualquier cosa (como ya se verá en los ejercicios y ejemplos de clase)

Las indeterminaciones que te puedes encontrar son:

Hay multitud de lugares en la web, por no decir la bibliografía existente, donde podéis obtener más información. Por ejemplo, en la Wikipedia hay una entrada sobre el infinito o también en este documento.

Corto PIPAS: un poco de humor

Hace poco tuve la suerte de poder ver el vídeo que viene a continuación. Se trata de un corto escrito y dirigido por Manuela Moreno. Me pareció bastante divertido y quería compartilo con vosotros. Algunos se preguntarán qué tendrá que ver esta entrada con las Matemáticas pero permitidme que no os responda y recomendaros que lo veáis primero...

Si os ha gustado os indico un enlace con una magnífica reseña del mismo y una entrevista con la directora.
Enlace: Reseña del corto "PIPAS"
 

El número e y la demostración por reducción al absurdo

En clase, al trabajar con logaritmos, vimos que aparecía el llamado logaritmo neperiano (que se escribe "Ln", o simplemente "L") Este logaritmo tiene como base el llamado número "e", número irracional bastante importante en Matemáticas. Como os prometí, os enlazo a un vídeo , perteneciente a una serie muy interesante que emitieron hace tiempo en televisión, donde se habla de dicho número y podréis conocerlo mejor.

Por otro lado, también surgió en clase uno de los métodos para demostrar algo: el método de reducción al absurdo. Básicamente consiste en suponer lo contrario de lo que queremos demostrar y, mediante deducciones, llegar a una contradicción o absurdo...concluyendo entonces que lo cierto es lo que precisamente queríamos demostrar al principio. Este método se aplica, por ejemplo, para demostrar que la raíz cuadrada de 2 es un número irracional.

Mirad el siguiente vídeo para entenderlo mejor:

Monólogo: "Un teorema es para siempre"

En Matemáticas, un teorema es una verdad que es demostrada a partir de unos axiomas (afirmaciones que se dan por ciertas y son indemostrables, es decir, se aceptan como ciertas como si de un "acto de fe" se tratase) El siguiente vídeo es un monólogo, al estilo del "Club de la Comedia", que ha permitido a un profesor de Matemáticas de la Universidad de La Rioja, Eduardo Sáenz de Cabezón, ganar el Famelab España 2013: ¿qué es Famelab? Pues es una iniciativa internacional cuyo objetivo es fomentar la divulgación científica a través de monólogos que versen sobre algún tema relacionado con la ciencia.

A mí me ha parecido divertido, ¿qué os parece?

Nature by numbers e Inspirations de Cristóbal Vila

Dos grandes trabajo donde, además de su estética, refleja en multitud de imágenes y símbolos grandes temas donde las Matemáticas juegan un papel relevante. Sería interesante visionarlos varias veces e ir anotando qué imágenes, símbolos o situaciones crees que guardan un contenido o tema matemático.

NATURE BY NUMBERS from Cristóbal Vila on Vimeo.
INSPIRATIONS from Cristóbal Vila on Vimeo.