Combinatoria y Probabilidad: trabajo de investigación (2ª evaluación)

Continuando con la dinámica de la materia optativa de Estadística en 2º de Bachillerato, en esta segunda evaluación les propuse unas pequeñas investigaciones relacionadas con la combinatoria y la probabilidad. En este caso opté por "gamificar" con una propuesta a cada uno de los grupos usando una plantilla de Genially.

La idea era sencilla, proponerles cinco misiones, ubicadas en cada una en los respectivos cinco continentes y apoyándome en situaciones o historias contextualizadas.

En cada una de mas misiones tenían que utilizar sus conocimientos sobre combinatoria (primera misión) y probabilidad (resto de misiones). En cada misión se les ponía en situación y se les hacía preguntas, con diversas opciones de respuesta. Si no acertaba se le ofrecía una pista que, previsiblemente, les permitía corregir el error y seguir avanzando. 

El orden en cada misión no era relevante, pero sí el código que obtenían en cada misión, una vez resuelta, ya que dicho código ordenado les permitía abrir una caja fuerte donde podían leer un último mensaje y una acción que tenía que realizar el representante de cada grupo.

Todos los grupos terminaron con éxito las cinco misiones, usando más o menos pistas según los errores que iban cometiendo.

La experiencia resultó gratificante, distinta y divertida, esa era la excusa para usar una tarea de gamificación pero, la idea auténtica era captar su atención para conseguir una implicación y motivación para afrontar unas situaciones de aprendizaje donde cada grupo tenía que debatir, reflexionar, analizar críticamente la información y actuar, tomando decisiones sobre la base de unos conocimientos, procedimientos y técnicas en combinatoria y probabilidad.

Al final, debían elaborar una presentación como apoyo a una defensa oral de cómo han resuelto cada una de las misiones.

La propuesta se les presentó a través de la siguiente presentación:

A continuación muestro una de las presentaciones de apoyo a la defensa oral que hico uno de los grupos, llamado "Panatic". Evidentemente falta la parte oral, en mi opinión el complemento ideal, pero algo es algo.

Estadística descriptiva: trabajo de investigación (1ª evaluación)

Durante este curso académico 2018-2019, en la optativa de Estadística de 2º de Bachillerato, he considerado oportuno y relevante que el alumnado, en grupos colaborativos, realizasen una humilde investigación donde tuviesen que aplicar parte de lo trabajado, analizado y estudiado en relación a contenidos relativos a la Estadística Descriptiva (variables estadísticas unidimensionales y bidimensionales).

Previa explicación del trabajo que tenían que realizar, además de una parte práctica en el aula de informática donde les he mostrado algunos aspectos básicos del programa Geogebra, han tenido tiempo suficiente para ir desarrollando el trabajo que, previo a la exposición oral y defensa del mismo, tenían que elaborar una presentación como apoyo a la misma.

Tanto el trabajo como la exposición oral y defensa del mismo han sido evaluados con rúbricas.

El esquema para el desarrollo y elaboración del trabajo se les mostró previamente:

El trabajo en sí consistía en un par de supuestos reales (el segundo sí que lo es), donde tenían que responder a unas preguntas:

Investigación 1

Supongamos una situación real hipotética, el dueño de una panadería está preocupado porque sospecha que las barras de pan que vende tienen un peso demasiado variable, de forma que algunas pueden estar incluso por debajo de los límites que marca la ley. Se utilizan dos máquinas para hacer pan y también trabajan dos operarios, unos días hace el pan uno y otros días, el otro. La siguiente tabla contiene los pesos (en gramos) de una muestra de barras de pan que se han ido recogiendo durante 20 días.

El peso debe ser de 220 ± 10 gramos y supondremos que estos datos son representativos de la producción general. Las preguntas que se plantean, para dar respuesta a la preocupación del dueño, son: ¿existe algún problema? Si es así, ¿qué está ocurriendo? ¿qué hay que hacer para resolver el problema?

Para intentar responder a las inquietudes del dueño, llevaréis a cabo una pequeña investigación usando vuestros conocimientos estadísticos hasta ahora. Para ello…

Organización de los datos y análisis de los mismos, preguntas que se podrían responder:

• ·       Representar gráficamente, usando un par de  gráficos adecuados, todos los datos. Se hace necesario, previamente, agrupar los mismos en una tabla de frecuencias. ¿Está justificada la preocupación del dueño de la panadería?

• ·   A raíz de lo analizado anteriormente, procedemos a “estratificar” la investigación analizando por un lado las mediciones de los dos operarios y, por otro lado, las mediciones en cada una de las máquinas.

En ambos casos habría que proceder como en el apartado anterior para poder extraer, si es posible, conclusiones claras que permitan finalizar la investigación. Por ejemplo: ¿Los operarios se han comportado igual? ¿Y las máquinas?

Investigación 2

Se quiere llevar a cabo un estudio sobre la relación entre la tasa de paro y de abandono escolar temprano en algunos países de la Unión Europea. Cuando hablamos de tasa de paro nos referimos al % de desempleo dentro de la población activa, y cuando se habla de abandono escolar temprano nos referimos a los habitantes, de entre 18 y 24 años, que finalizan su etapa escolar sin obtener el título de la ESO.

La investigación consistirá en determinar si existe relación entre la tasa de paro y de abandono escolar entre los países de la Unión Europea. Se toman como datos para el estudio los resultados de los países: España, Italia, Polonia, Irlanda, Holanda, Bélgica, Reino Unido, Francia, Portugal y Austria.

Posteriormente, después del análisis anterior:

• Estima la tasa de abandono escolar en Alemania sabiendo que su tasa de paro media en 2017  fue del 3,8 %.
• Estima la tasa de paro de Dinamarca sabiendo que su tasa de abandono escolar en 2017 fue del 8,8 %.

Analiza la fiabilidad de las estimaciones.

Tasa de desempleo en algunos países europeos durante el año 2017

País	%
Bélgica	7,1
Irlanda	6,7
España	17,2
Francia	9,4
Italia	11,2
Holanda	4,9
Austria	5,5
Polonia	4,9
Portugal	9,0
Reino Unido	4,4

Abandono escolar temprano

País/Año	%
Bélgica	8,9
Irlanda	5,1
España	18,3
Francia	8,9
Italia	14,0
Holanda	7,1
Austria	7,4
Polonia	5,0
Portugal	12,6
Reino Unido	10,6

Fuente: Eurostat (Oficina Europea de Estadística)

Enlace: https://ec.europa.eu/eurostat

A continuación un ejemplo de presentación elaborada por uno de los grupos de nombre, muy apropiado por cierto, "Florence Nightingale":

Esquema general y ejemplo para afrontar un problema de optimización

Los llamados problemas de optimización son aquellos en los que aparecen funciones reales en las cuáles necesitamos localizar sus extremos (máximo o mínimo). En la mayoría de los casos, dichas funciones están contextualizadas, es decir, modelizan una hipotética situación real.

En todo “problema” de este tipo no existe un método perfecto e infalible para resolverlo, lo que sí merece la pena, y mucho, es plantearse previamente una serie de fases como:

Fase 1: ¿Entiendo el enunciado y lo que se pide? 

Algo que no hay que tomarse en vano, el entender qué información te están proporcionando y qué es lo que te están pidiendo es vital. Y ojo, que no estamos diciendo con esto que sí ya sabemos cómo obtener la respuesta. Lo que se pretende es concienciarnos de que es imprescindible, en primer lugar, entender y comprender el texto, los datos y los que nos preguntan.

Fase 2: Una vez que se ha entendido el enunciado y lo que se pide: ¿cómo uso la información qué realmente necesito de forma que pueda plantear el problema en términos que me permitan usar una estrategia, técnica o procedimiento general para llegar a la solución? Esta parte suele ser la más difícil ya que consiste en trasladar una información, proporcionada en un texto y normalmente con datos, a expresiones “manipulables” y “conocidas” que nos permita seguir avanzando en la búsqueda de una posible respuesta. Conseguir esto es lo que se llama realizar el “planteamiento” del problema. En algunos casos, un dibujo o gráfico puede ser muy útil, además de que siempre es importante usar una notación y lenguaje que sea correcto y claro.

¿Qué se quiere optimizar? Es decir, ¿qué tienes que calcular para conseguir el máximo o mínimo valor de quién?

Expresar algebraicamente lo que quieres que alcance su valor máximo o mínimo, ésta será la función para la cual habrá que encontrar el extremo (máximo o mínimo, según lo que se pida). El valor de dicha función (sus imágenes) dependerá de una o más variables. Para encontrar dicha función requiere, a veces, el uso de imágenes o gráficos de apoyo que te ayuden a pensar en cómo conseguir esa expresión algebraica que representa lo que se quiere maximizar o minimizar.

Os recuerdo que estudiamos las funciones reales con una única variable, así que…

Importante preguntarse para qué valores tiene sentido la expresión que se quiere maximizar o minimizar (lo que se denomina optimizar).

Fase 3: Esta parte es muy técnica pero el personal no suele pensar en usar un procedimiento eficiente y simple para obtener posible solución. A veces nos complicamos la vida con procedimientos largos que lo único que consiguen en hacernos perder tiempo y aumentar la probabilidad de cometer un error (o más). Por eso es muy útil, siempre, procurar conocer diversos procedimientos (o caminos) para llegar a una posible solución (o destino); la práctica, posteriormente, te permitirá “intuir” en cada momento cuál es el “camino” más óptima para llegar al “destino”, entiéndase solución.

Fase 4: Concluir de forma coherente una respuesta. A veces nos obcecamos e impacientamos en llegar a una solución-respuesta y, por desgracia, a veces ocurre que esa solución no tiene sentido o habría que matizarla. Es importante por tanto, analizar si la respuesta obtenida es coherente con el enunciado y el contexto del problema (si lo tiene).

Veamos un ejemplo ilustrativo que no es más  que eso, UN ÚNICO ejemplo. La práctica es lo que te permitirá adquirir soltura, confianza e “intuición” para tener más posibilidades de afrontar con éxito este tipo de problemas.

Enunciado:

Un nadador A se encuentra a 3 km de la playa enfrente de una caseta.

Desea ir a un punto B, situado en la misma playa, a 6 km de la caseta. Sabiendo que nada a 3 km/h y anda por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible.

Desarrollo:

Fase 1:

Entiendo el enunciado y lo que se pide, teniendo en cuenta que cuando dice “Un nadador A se encuentra a 3 km de la playa enfrente de una caseta”, lo que quiere decir es que la dirección de A hacia la playa es perpendicular a la dirección de la misma playa-orilla. Por otro lado, debo entender que las velocidades de nado y de caminar son constantes (no lo dice y, entonces, supongo el caso más simple).

Por último, cuando dice “a qué lugar debe dirigirse a nado”, entiendo que lo lógico es a un lugar de la orilla que se encontrará situado entre la caseta y el punto B.

Fase 2:

En este caso, realizar un dibujo ilustrativo de la situación ayuda bastante (tanto a ti, para pensar en cómo plantear el problema, como para el que lo está leyendo, ya que así puede entender lo que después vas a desarrollar para justificar tu desarrollo y, por tanto, para encontrar la respuesta).

Integrales trigonométricas: cambio de variable general

Las integrales trigonométricas son particularmente “difíciles” por la casuística que hay que tener en cuenta. Sin entrar en detalles de los cambios de variable, según casos fácilmente detectables, y los “trucos” que algunas veces se utilizan para convertir una integral trigonométrica en otra asequible, existe un cambio general de variable que permite SIEMPRE convertir una integral trigonométrica en una racional. Este cambio sólo se aconseja en casos de desesperación, es decir, cuando se han agotado otras vías o nos es imposible detectar la estrategia a seguir para conseguir resolver la integral de una forma más sencilla.

El cambio de variable es t=tg(x/2), del cual se deduce que:

La justificación de las igualdades anteriores no son evidentes.

En el siguiente enlace se encuentran las explicaciones y el desarrollo completo de algunos ejemplos seleccionados.

Editor de ecuaciones online útil para insertar en un correo electrónico

De todos es conocidos el editor de ecuaciones de Word o, si usamos Open Office o Libre Office, el insertar una ecuación en un documento de texto. A veces tenemos que hacer lo mismo on line. Para ello existen varios editores de ecuaciones online y MathCast es uno de ellos. Se trata de un editor de ecuaciones, concretamente una aplicación que permite introducir, de forma sencilla con un poco de práctica, fórmulas y símbolos matemáticos. Estas expresiones se pueden utilizar en documentos escritos y páginas web. MathCast es una aplicación gratuita y de código abierto.

Enlace: atomurl.net/math/

Uso: A veces escribimos un correo electrónico y nos resulta imposible insertar un símbolo o expresión matemática (a menos que lo hagamos como si fuera una imagen y lo insertemos). Ahora es más cómodo si lo que queremos hacer, por ejemplo, en un correo de Gmail. Si escribimos la expresión en el editor MathCast, después sólo tenemos que dirigirnos a "Direct Link" para copiar la dirección web y, posteriormente, insertar la imagen en el correo usando la opción de pegar la url anterior. Aparecerá la expresión matemática en la ventana donde estáis redactando el correo electrónico y podéis seguir escribiendo, insertando otra y luego enviar el mismo. Aunque no es imprescindible, está la opción de pinchar en "Make short link" para obtener dicho enlace pero más "corto".

Raíces cuadradas sucesivas de un número positivo

Toma una calculadora que permita calcular raíces cuadradas, no hace falta que sea científica. Ahora escribe un número positivo cualquiera y calcula su raíz cuadrada. Al valor obtenido le calculas también su raíz cuadrada...así sucesivamente con el nuevo número obtenido (a este proceso es a lo que llamo "raíces cuadradas sucesivas de un número positivo").

Usando el lenguaje matemático te pido que:

Nota: los puntos suspensivos dentro de la expresión viene a indicar que realizamos la raíz cuadrada sucesiva una cantidad de veces n. Por ejemplo, si realizo n=3 veces sucesivas la raíz cuadrada de 5 lo escribiría así:

Te propongo unas preguntas:

1. Llegará un momento en que observarás algo "curioso" y, seguramente, probarás con otro número positivo para comprobar si ocurre lo mismo. ¿Podrías expresar qué has observado?

Para los que estáis en Bachillerato, lo que realmente os estoy preguntando es si existe, y es finito, el siguiente límite:

(siendo x>0)

2. ¿Cómo es posible que después de calcular una cantidad "finita" de raíces cuadradas sucesivas de un número positivo llega un momento que en la pantalla aparece sólo el 1?

3. ¿El valor al que siempre se llega en la pantalla es exactamente 1 o una aproximación cada vez más cercana por defecto o por exceso?

Espero vuestras respuestas, y ya sabéis, ¡razonadas!

Cuadernillo Matemático

Hace tiempo, en diciembre de 2005, se me ocurrió la idea de elaborar una especie de cuaderno con preguntas relacionadas con contenidos matemáticos. Lo hice pensando en un grupo de alumnos de 4º de ESO que tenía ese año y que eran muy curiosos, en el sentido de que les gustaban los retos y las propuestas que les hacía en clase. De ahí nació lo que llamé el "Cuadernillo Matemático" que adjunto a esta entrada por si alguien, si le parece bien y oportuno, lo pueda usar con sus alumnos. Está pensado para un nivel de 4º de ESO aunque, como es normal, hay cierta flexibilidad y puede ser usado también en 3º ESO Académicas o Bachillerato.

¿Alguien se anima? Si es así, espero comentarios.