La fórmula de Herón y un par de retos trigonométricos

Hemos estado trabajando la trigonometría y, aunque no la hemos trabajado en clase, es curiosa una relación entre los lados de cualquier triángulo y su área conocida como la fórmula de Herón.

Sería interesante que analizaseis su origen, demostración y utilidad (al final de la entrada proporciono un enlace) Para que podáis ver diversas situaciones donde se puede aplicar, os propongo un par de retos.

Reto 1

Supongamos una parcela cuyas medidas vienen representadas en el siguiente plano hecho a escala:

¿Podrías calcular la superficie de la parcela?

Reto 2

Éste es un problema procedente de italia (siglo XV)

Un círculo con un diámetro de 4 unidades está inscrito en un triángulo. Un punto de tangencia del círculo con el lado del triángulo divide este lado en longitudes de 6 y 8 unidades. ¿Cuáles son las longitudes de los otros dos lados del triángulo?

Como podéis imaginar, los dos problemas se podrían resolver de distintas formas. En cualquier caso es recomendable que te ayudes de un dibujo que ilustre la situación.

Enlace: Fórmula de Herón (Wikipedia)

Derivada e integral de una función

WolframAlpha es un "buscador de respuestas" y entre sus usos principales está el que te permite obtener respuesta estructurada a determinadas cuestiones relacionadas con las Matemáticas. Por ejemplo, y dentro del tema que nos ocupa, podemos usarlo para calcular la función derivada o la primitiva (integral indefinida) de una función.

Elegimos la opción "Derivar" o "Integrar" y, a continuación, introducimos la expresión analítica de la función. Hay que tener en cuenta determinados detalles, por ejemplo, para expresar una potencia escribimos "^", para expresar el logaritmo neperiano "log" y "sin(x)" para el senx.
Otros caracteres especiales:

*     multiplicación
/     división
^    potencia

exp(  )     para expresar el número "e" elevado a lo hay entre paréntesis

sqrt( )      para expresar la raíz cuadrada de lo que hay entere paréntesis

log(x)      representa el logaritmo neperiano de x

Como ejemplo, elegimos la opción "Integrar" e introduzco la expresión "2x-4", la respuesta que nos proporciona es:

Como se puede observar, obtenemos por un lado la función primitiva pero sin simplificar. El resultado simplificado es:

Por otro lado, también nos proporciona la gráfica de la función primitiva, en este caso una función cuadrática, con dos escalas distintas (en este caso, es evidente que nos resulta mejor la primera gráfica).

Resulta interesante esta herramienta.

Para más información:

Wolfram Alpha en español

Transformación de una función

Un aspecto importante en el estudio de funciones es la representación gráfica de la misma. Comenzamos estudiando las llamadas "funciones elementales" (que las clasificamos por "familias", así estudiamos las funciones polinómicas, racionales, radicales, trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc., siendo las más sencilla de todas la función constante)

También hemos hablado de la función más "artificial" de todas, la función a trozos, que no es más que una función construida a partir de cualquiera de las anteriores pero definida en diversos intervalos) 

Las funciones elementales nos va a permitir conocer, con posterioridad, otro tipo de funciones más "difíciles" pero que tienen similares características que las "elementales".

En muchas ocasiones, si conocemos la gráfica de alguna función podemos obtener fácilmente la gráfica de otra, de la misma familia, pero donde observamos ligeras modificaciones. Concretamente, si conocemos la gráfica de una función y=f(x), podemos obtener fácilmente la gráfica de las siguientes funciones (k es una constante cualquiera):

f(x±k), f(x)±k, f(-x), -f(x)

Por ejemplo, conocemos la gráfica de la función:

A partir de ella podremos representar fácilmente la gráfica de las funciones:

Las dos primeras transformaciones suponen una traslación horizontal y vertical, respectivamente, de la función original.

Las dos últimas transformaciones representan la gráfica simétrica de nuestra función original respecto al eje Y y eje X respectivamente.

Ni que decir tiene que podemos realizar combinaciones de las distintas transformaciones, como por ejemplo, realizar una traslación horizontal a la derecha de 3 unidades y luego una simetría respecto el eje X, obteniendo entonces la función:

Y cuya representación gráfica sería:

También podríamos hacer dilataciones y contracciones en la gráfica de una función, para poder entender mejor en qué consisten dichas transformaciones es mejor que uséis el siguiente applet realizado con Geogebra (introduce la función de entrada que quieras y prueba con las distintas transformaciones que aparecen)

Enlace a applet de Geogebra: Transformación de funciones 
(necesario que tengas Java instalado en tu ordenador)

Por último, el siguiente vídeo es muy ilustrativo ya que proporcione múltiples ejemplos:

Trigonometría: ¿cuántas razones trigonométricas hay?

Hoy en clase hemos hablado de otras razones trigonométricas de un ángulo, además de las ya conocidas, seno, coseno y tangente. Como habéis preguntado si existen otras y, además, si se pueden "visualizar" gráficamente, os indico un enlace a una entrada de un magnífico blog, llamado gaussianos.com, donde se responde claramente a ambas preguntas.

El enlace es: ¿Cuántas razones trigonométricas "existen"?

PD: En el anterior enlace muestra gráficamente, entre otras, la razón trigonométrica de la tangente de un ángulo. Quizás os parezca distinta a la que yo os mostré en clase pero si lo pensáis es exactamente lo mismo.

Derivada de una función: teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange

Llevamos un tiempo, durante este primer trimestre, estudiando la función derivada de funciones reales y, más concretamente, sus usos y aplicaciones más relevantes: estudio de la monotonía (intervalos de crecimiento-decrecimiento), búsqueda de extremos (máximos-mínimos), estudio de la curvatura (intervalos de concavidad-convexidad), puntos de inflexión, rectas tangentes a la gráfica, problemas de optimización, etc.

El concepto de derivada de una función en un punto y, por tanto, el hecho de que una función sea derivable en un intervalo, es una propiedad muy potente que nos ha permitido analizar y obtener múltiples características de la misma muy útiles, no sólo porque así conocemos mejor a la función, sino porque dichas informaciones nos permite responder a pregunta cuya respuesta inicial no es evidente.

Hay un par de resultados importantes que no hemos visto en clase y son dignos de mencionar, los teoremas denominados teorema de Rolle y teorema del valor medio o de Lagrange.

En el siguiente enlace podréis acceder a un documento que he elaborado y que habla de ambos, espero que os resulte interesante.

Enlace: Teoremas de Rolle y del valor medio de Lagrange.

La lata nos da "la lata"

A raíz de un problema de optimización visto en clase, os propuse uno relacionado con las latas de refrescos u de otro tipo de productos (pero que sean cilíndricas). Actualmente podemos encontrar latas con diversas alturas y, en el caso de los refrescos, normalmente suelen tener un volumen de 33 cl=330 ml.

El reto consiste en determinar qué dimensiones debe tener una lata cilíndrica (radio de la base y altura) para que, con un volumen constante de 33 cl, la superficie total sea mínima.

Intentad plantearlo y resolverlo, para poder contrastar vuestro trabajo os indico el enlace con el desarrollo que he realizado del mismo.

Enlace: Resolución del reto (La lata nos da "la lata")

Un problema de clase

Ayer surgió un "problema" en clase cuyo enunciado es:

Un automóvil sube las cuestas a 54 Km/h, las baja a 90 Km/h y en llano marcha a 80 Km/h. Para ir de A a B tarda 2 horas y 30 minutos, y para volver de B a A, 2 horas y 38 minutos. ¿Cuál es la longitud del camino llano entre A y B si se sabe que A y B distan 192 kilómetros?

Vamos a comenzar a pensar...

Fase 1: Entender el enunciado

Vamos a suponer que primero hay un ascenso, luego un descenso y el trayecto final es llano. También es necesario suponer que la velocidad, en cada tramo, es constante (es decir, consideramos que el movimiento es rectilíneo uniforme)

Las anteriores afirmaciones deberían haber estado en el enunciado, ya que una de las cualidades que debe tener el enunciado de un problema es que sea claro y sin ambigüedades.

Datos:

Velocidad en ascenso= 54 km/h

Velocidad en descenso= 90 km/h

Velocidad en llano= 80 km/h

Tiempo en ir desde A hasta B= 2 h 30 m=2,5 horas

Tiempo en ir desde B hasta A= 2 h 38 min≈2,63 horas

Distancia entre A y B=192 km

Fase 2: Buscar relaciones

Obtenemos un sistema de ecuaciones lineales (3 ecuaciones y 3 incógnitas, aunque a nosotros sólo nos interesa una)

Fase 3: Resolver

Si usamos, entre otros, Wiris (programa de cálculo matemático) obtenemos:

Fase 4: Interpretar

(Además hemos obtenido la longitud de los otros tramos)

Enlace a Wiris on line en Andalucía:

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/wiris/es/index.html‎